Densité de probabilité.

Bonsoir,

ça va paraître vraiment bizarre ma question, mais est ce qu'il existe d'intégrale auprès de l'infini lors d'une densité de probabilité? Bon voila l'exercice au dessous et aussi ce que j'ai fait, à savoir juste le résultat, car ce qui m’intéresse le plus ici est le calcule:

Soit f la densité de probabilité d'une v.a x
$x≻1f(x)=\begin{cases} 0 & \text{ if } x\leq 1 \ \frac{16lnx}{x^{5}} & \text{ if } x\succ 1 \end{cases}$
Calculer E(x) et V(x)

J'ai trouvé en utilisant les propriétés des intégrales:

$e(x)=∫1+∞xf(x)dx=16([−lnx3x3]1+∞−13[13x3]1+∞)e(x)=\int_{1}^{+\infty }{xf(x)dx}=16\left( \left[ \frac{-lnx}{3x^{3}}\right]{1}^{+\infty }-\frac{1}{3}\left[ \frac{1}{3x^{3}}\right]{1}^{+\infty }\right)$

$v(x)=∫1+∞x2f(x)dx−e(x)2=16([−lnx2x2]1+∞−12[12x2]1+∞)−e(x)2v(x)=\int_{1}^{+\infty }{x^{2}f(x)dx-e(x)^{2}}=16\left( \left[ \frac{-lnx}{2x^{2}}\right]{1}^{+\infty }-\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2x^{2}}\right]{1}^{+\infty }\right)-e(x)^{2}$

J'aimerai savoir si la formule est juste et comment trouver le résultat numérique auprès de l'infini.

Merci.

Bonjour,

Ta démarche me semble exacte (je n'ai pas vérifié tes intégrales)

Pour le calcul aux bornes "+∞", tu cherches la limite des expressions lorsque x tend vers +∞

Après calculs, sauf erreur, $e(x)=169e(x)=\frac{16}{9}$

Même démarche pour V(x)

Ah d'accord... Juste une toute petite question, si la fonction n'admet pas de limite fini au près de l'infinie, dans ce que il n'y a plus d'intégrale?

Si la fonction f est une densité de probabilité, le problème ne peut pas se produire.

Ah d'accord.

Moi aussi j'ai trouvé la même valeur pour E(X) et pour V(X)=68/81 .

Merciiiiiiiiiii pour l'aide!

Oui pour V(x).

Bon travail.