Densité de probabilité.


  • P

    Bonsoir,

    ça va paraître vraiment bizarre ma question, mais est ce qu'il existe d'intégrale auprès de l'infini lors d'une densité de probabilité? Bon voila l'exercice au dessous et aussi ce que j'ai fait, à savoir juste le résultat, car ce qui m’intéresse le plus ici est le calcule:

    Soit f la densité de probabilité d'une v.a x
    f(x)={0amp; if x≤1 16lnxx5amp; if x≻1f(x)=\begin{cases} 0 & \text{ if } x\leq 1 \ \frac{16lnx}{x^{5}} & \text{ if } x\succ 1 \end{cases}f(x)={0amp; if x1 x516lnxamp; if x1
    Calculer E(x) et V(x)

    J'ai trouvé en utilisant les propriétés des intégrales:

    e(x)=∫1+∞xf(x)dx=16([−lnx3x3]<em>1+∞−13[13x3]</em>1+∞)e(x)=\int_{1}^{+\infty }{xf(x)dx}=16\left( \left[ \frac{-lnx}{3x^{3}}\right]<em>{1}^{+\infty }-\frac{1}{3}\left[ \frac{1}{3x^{3}}\right]</em>{1}^{+\infty }\right)e(x)=1+xf(x)dx=16([3x3lnx]<em>1+31[3x31]</em>1+)

    v(x)=∫1+∞x2f(x)dx−e(x)2=16([−lnx2x2]<em>1+∞−12[12x2]</em>1+∞)−e(x)2v(x)=\int_{1}^{+\infty }{x^{2}f(x)dx-e(x)^{2}}=16\left( \left[ \frac{-lnx}{2x^{2}}\right]<em>{1}^{+\infty }-\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2x^{2}}\right]</em>{1}^{+\infty }\right)-e(x)^{2}v(x)=1+x2f(x)dxe(x)2=16([2x2lnx]<em>1+21[2x21]</em>1+)e(x)2

    J'aimerai savoir si la formule est juste et comment trouver le résultat numérique auprès de l'infini.

    Merci.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Ta démarche me semble exacte (je n'ai pas vérifié tes intégrales)

    Pour le calcul aux bornes "+∞", tu cherches la limite des expressions lorsque x tend vers +∞

    Après calculs, sauf erreur,e(x)=169e(x)=\frac{16}{9}e(x)=916

    Même démarche pour V(x)


  • P

    Ah d'accord... Juste une toute petite question, si la fonction n'admet pas de limite fini au près de l'infinie, dans ce que il n'y a plus d'intégrale?


  • mtschoon

    Si la fonction f est une densité de probabilité, le problème ne peut pas se produire.


  • P

    Ah d'accord.

    Moi aussi j'ai trouvé la même valeur pour E(X) et pour V(X)=68/81 .

    Merciiiiiiiiiii pour l'aide!


  • mtschoon

    Oui pour V(x).

    Bon travail.


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