Calcul de la dérivée d'une fonction exponentielle

Bonjour à tous
j'ai un exercice de dérivée sur la fonction exponentielle, mais je ne sais pas quelle formule appliquée
Dérivée la fonction f(x) = e^(x-1) / e^(x+1)
Est ce que je dois d'abord appliquer la formule e^a / e^b = e^(a-b)
Ou appliquer la formule (U/V)' = (U'V - V'U) / V^2
Merci de votre aide

Bonjour,
Fais les deux, l'une après l'autre, afin de vérifier.

Pour le 1er
e^(x-1) / e^(x+1) = e^ ((x-1)-(x+1)) = e^(-2)
Est ce bien ça

Oui, quelle est alors sa dérivée ?

Dérivé de -2 c'est 0
D'où dérivée de e^(-2) = 0 x e^(-2) = 0
C'est ca ???

Oui et non.
$e^{-2}$ est une constante, et la dérivée d'une constante est bien nulle.
Mais -2 n'a rien à faire ici, c'est globalement $e^{-2}$ qu'il faut considérer.
A moins que tu n'aies voulu dériver $e^u$ qui donne u'. $e^u$ , u' étant ici nul.
Est-ce cela ? Apparemment oui (attention à l'utilisation du signe "=").

Regarde maintenant ce que donne ton autre méthode.

Oui ce la que j'ai voulu faire et merci de m'apprendre que e^(-2) est une constante.
Pour le 2
(À/V)' = (U'V - V'U) / V^2
U = e^(x-1) et U' = e
V = e^(x+1) et V' = e
eCe qui donne: (U/V)' = (e.e^(x+1)) - (e.e^(x-1)) / ( e^(x+1))^2
J'ai du mal a faire ce calcul

j'ai trouvé
(e^(x+1) - e^(x-1)) / (e^(x+1))^2

Citation
U = e^(x-1) et U' = e
V = e^(x+1) et V' = eCela est faux.
La dérivée de $e^x$ est $e^x$ , pas e.
De même la dérivée de $e^{x+1}$ est ... ?

Dérivé de e^(x+1) = e^(x+1)

N'écris pas "=" à la place du verbe être (même si ici l'égalité est juste)
Tu fais de même pour la dérivée de $e^{x-1}$ et tu appliques ta formule de dérivée d'un quotient.

Dérivé de e^(x-1) = e^(x-1)

D'accord

Montre ton calcul.

e^(2x) - e^(2x) / (e^x+1)^2 = 0

Est ce que jai bon

Oui, mais place des parenthèses pour l'ensemble du numérateur.

Alors, quelle méthode choisir et pourquoi ?

J'aurai bien choisi l'autre méthode le 1er car je gagnerais plus de temps

Oui, la première est préférable, mais pas seulement parce qu'elle est plus courte.
Quels renseignements te donne chaque méthode ?

La première : la fonction est constante, et on sait de quelle constante il s'agit : $e^{-2}$ . La dérivée est donc nulle (sans nouveau calcul).

La deuxième : la dérivée est nulle, donc la fonction est constante. Mais elle ne dit pas de quelle constante il s'agit.

La première fournit donc plus de renseignements que l'autre.

Oui je suis d'accord avec vous mais est ce qu'on aurait étudié cette fonction de la même manière que la fonction f(x)= e^x
Parce qu'on me demande ensuite d'étudier la fonction f(x) = e^(x-1) / e^(x+1)

Il s'agit d'une fonction constante (à moins d'une erreur d'énoncé : vérifie) et non pas d'une fonction exponentielle.
Quelle est la représentation graphique d'une fonction constante ?

La représentation graphique dune fonction constante est une droite

Cela pourrait être plutôt f(x) =( e^x) - 1 / (e^x)+1

Cela change tout !
vérifie qu'il s'agit bien de $e^x$ - $1]/[e^x$ + 1]

Oui c'est cela

Alors on recommence tout.

Quel est le domaine (ensemble de définition) de la fonction ?

La fonction est définie pour ]0;+oo[

Non : elle est définie sur R tout entier : x peut bien être négatif ou nul.
Il faut juste regarder le dénominateur : $e^x$ + 1 : il n'est jamais nul.

Calcule maintenant la dérivée f '(x)

D'accord je poste mon résultat

f' = (e^x)((e^x)-1) - (e^x)((e^x)+1) / ((e^x)+1)^2

Non : le numérateur est "à l'envers" : VU' - UV' (et pas UV' - VU')

Excusez moi mathtous
J'ai fait encore une grosse bêtise car je me suis précipitée d'écrire (e^x)+1 au dénominateur alors que c'est plutôt (e^x)-1 qui est au dénominateur j'ai vraiment honte
Toutes mes excuses

Alors, la fonction est f(x) = $[e$ ^x $1]/[e^x$ - 1] ?
Si tu es trop fatigué(e), on verra la suite plus tard.

f' = ((e^x)((e^x)-1)) - ((e^x)((e^x)+1)) / ((e^x)-1))^2

C'est juste, mais auparavant il faut donner le domaine de f : cette fois ce n'est plus R car le dénominateur pourrait s'annuler.

Ensuite, il faudra simplifier l'écriture du numérateur de f '(x) (écris f '(x) = ... et pas f ' = ...)

f'(x) = -2e^x / ((e^x)-1)^2

Oui, mais tu n'as pas indiqué le domaine : c'est indispensable pour éviter des erreurs ultérieures.

Je dois maintenant me déconnecter.
A plus tard si personne d'autre ne t'aide d'ici là.
Bon courage.

Merci de votre aide à bientôt
Le domaine de définition est donc ]-oo;0[U]0;+oo[

Le domaine est juste, la dérivée aussi (dans ce domaine), il te reste à voir les variations et la représentation graphique.

Rebonjour
Merci de bien vouloir m'aider
Donc il me faut connaitre les limites en 0-, 0+, en -oo, et en +oo de f(x)?

Oui, et aussi savoir si la fonction est croissante ou décroissante sur chacun des deux intervalles du domaine.
Tu peux scanner ton tableau de variation si tu veux.