Base duale d'un espace vectoriel...

Voilà je tentais de comprendre l'énocé d'un concours agreg mais j'ai bloqué sur un truc !

Voici le truc en question :
On munit $R^n$ d'un scalaire noté <,>

..... (après c'est tout un truc qui a aucun rapport)

On note $e_i$ $)_{1 <= i <= n}$ la base canonique de $R^n$ puis $(e * < e m > i$ $){1 <= i <= n}$ sa base duale !

Le probleme est que je n'arrive pas à savoir ce qu'est la base duale je sais juste que on note la base duale comme ci :

$e * < e m > i$ $e_j$ $delt){ij}$ sachant que i=0,1,2,3..,n puis que (delt) est le symbole de kroenecker (si ça s'ecrit comme ça...) et moi je ne vois pas de "j" dans l'énoncé vu au dessus ! Et si on a bien la base canonique avec lui aussi les "i" ça signifirait que les deux bases seraient les meme ! Mon prof de lycée m'a parler du noyau mais pas moyen de voir le rapport pouriez vous m'aider ??

Merci bien !

Comme quoi : ne mets pas la charrue avant les boeufs !

Oui... vous avez raison...

Alors une autre question :
Je n'arrive pas a comprendre le noyau d'une fonction analytique integrable dans [a,b]..

Merci d'avance !

Salut GassuFutur!
Que puis-je te dire sur les bases duales...de façon à ce qu'un lycée puisse comprendre!...t'es curieux quand même!
Déjà, il faut avoir vu la notion d'espace vectoriel, de noyau(Ker) et d'image(Im) ainsi que la dimension d'un ensemble, et bien sûr la notion de base!
Admettons...
La définition(et théorème) est la suivante(d'après mes cours):
Soit E un K-ev(où K = R ou K = C)de dimension finie, $A={a_1$ , ..., $a_p$ } une base de E. On définit alors les p formes linéaires $a^$ $_j$ pour j variant de 1 à p par :
$a^$ $_j$ : E -> K
qqsoit/ i app/ $delta)_p$ ,
$a^$ $_j$ $a_i$ ) = $O_K$ si i diff/ j et $1_K$ si i = j
Alors:
dim $E^$ = dim E ,
$B^$ $={a^$ $< e m > 1$ , ..., $a^$ $_p$ } est une base de $E^$ et
qqsoit/ x app/ E, x = $som(^p$ $em>{j=1}$ $a^$ $_j$ $x)a_j$
$B^$ est appelée la base duale de la base B et les $a^*$ $_j$ s'appellent les formes coordonnées.

...oui bon vu comme ça, c'est pas forcémént évident!
Je vais te traduire ça en français courant avec un ptit exemple:

par ex E = $R^3$ ev sur R de dim 3
donc $E^$ = $R^3$ $^$ ev dual ie l'ensemble des formes linéaires de $R^3$ dans R.
Si ${e_1$ , $e_2$ , $e_3$ } est la base canonique de $R^3$
on définit ${e^$ $_1$ , $e^$ $_2$ , $e^$ $_3$ } est la base duale de $R^3$ tel que:
$e^$ $_1$ : $R^3$ -> R
(x, y, z) | -> x
$e$ ^ $_2$ : (x, y, z) | -> y
$e^$ $_3$ :(x, y, z) | -> z

Voilà, je pense que c'est un peu plus clair en ce qui concerne les bases duales! Merci quand même d'avoir poser la question:j'ai partiel sur ça demain à 8h...et mine de rien ça m'a permi de le bosser et de bien le comprendre! :razz:
Si tu te poses d'autres questions n'hésites pas à revenir...mais essayes quand même de rester à ton niveau!c'est ce que voulait dire Zauctore quand il te dit :"Comme quoi : ne mets pas la charrue avant les boeufs !"
Biz

Merci ça m'a beaucoup aidé ! (je n'ai pas TOUT compris mais une bonne partie !) !!!

Et la deuxieme question c'est :

Soit f:X -> Y une fonction reele et integrable sur [a,b]

Mon livre indique que le noyau c'est [a,b]² si f est integrable dans cet intervale, et fin ! mais là je ne vois pas ce que c'est........

Car nombreuse sont les fonctions integrables, en plus elles ont generalement [a,b]=R donc.... ça signifirais que le noyau serait R² ??

Ce que je ne comprends pas !

Et de même que d'après mon livre, le noyau d'un ev est different que le noyau d'une fonction f, quelle est la notation pour le noyau d'une fonction ? Ker(f) ?

Nombreuses sont les questions... et nombreuses pourront etre les reponses, et plus grand sera mon savoir !

Et enfn je serai satisfait quand tout me paraitra clair !!!

non ça ira, vous avez raison je dois mettre la charue de coté, et manger les boeufs.... euh no ça doit pas etre ça le proverbe ! ^^

Pas exactement, nelly.