loi de probabilité - trois dés



  • Bonsoir,

    J'ai un peu de mal avec les variables aléatoires et voici, ci dessous un exercice d'application (les deux questions sont indépendantes) que j'aimerais avoir faire :

    On lance simultanément 3 dés à 6 faces bien équilibrés. On note X le plus grand des 3 résultats obtenus. Déterminer la loi de X.

    J'ai fait :

    1. X suit une loi uniforme sur [1,6] puisqu'au minimum, on peut obtenir comme maximum 1 si les trois dés ont donné 1 et 6 si les trois dés ou l'un des trois ont donné 6. Donc :
      p(X=1)=(1/6)3p(X=1)=(1/6)^3
      p(X=2)=même proba

    dans ce 1., je trouve toujours la même probabilité donc je pense qu'il y a un problème

    Je ne suis pas convaincue merci de m'aider



  • Bonjour,

    X ne peut pas suivre une loi uniforme car si tu fais les calculs, les probabilités ne sont pas égales!

    Lés dés sont envoyés simultanément mais ils ne sont pas indiscernables... dommage...

    On peut supposer, par exemple, qu'il sont Rouge, Vert, Bleu et que les résultats sont sous la forme(a,b,c) avec a lu sur Rouge, b lu sur Vert et c lu sous Bleu

    cardω=63card \omega=6^3

    Comme tu l'as indiqué, vu que le seul triplet dont le plus grand élément est 1 est (1,1,1),
    p(x=1)=163p(x=1)=\frac{1}{6^3}

    Pour X=2, c'est déjà un peu plus compliqué

    Les triplets favorables sont composés :
    ou bien de trois 2
    ou bien de deux 2 et un 1
    ou bien de un 2 et deux 1

    ça doit faire 7 éventualités (vérifie)

    p(x=2)=763p(x=2)=\frac{7}{6^3}

    Tu continues ainsi pour X=3, X=4, X=5 et X=6

    Bon courage.



  • d'accord je fais les calculs d'ici demain et je vous les envoie pour avoir une correction.

    J'ouvre une autre discussion pour l'autre exercice



  • bonjour

    j'ai commencé à tous les décompter mais vu le temps que ça prend, à mon avis il doit y avoir une méthode plus direct par dénombrement. Savez vous qu'elle pourrait être cette méthode de calcul ?

    par exemple, je trouve ici p(X=6)=103/63p(X=6)=103/6^3



  • Je regarde ton dernier résultat.

    Je me demande comment tu as trouvé 103 éventualités pour X=6.

    J'ai beau chercher, je n'en trouve que 91

    Je t'indique comment tu peux organiser le travail pour X=6

    Soit (a,b,c) les 3 résultats des dés.

    1er cas a=6
    b et c peuvent prendre toutes les valeurs entre 1 et 6 , donc

    6 x 6 =36 éventualités

    2eme cas b=6
    a ne peut pas prendre la valeur 6 (car on tomberait dans le cas précédent). a peut prendre toutes les valeurs entre 1 et 5
    c peut prendre toutes les valeurs entre 1 et 6, donc:

    5 x 6 =30 éventualités

    3eme cas c=6
    a et b ne peuvent pas prendre la valeur 6 (car on tomberait dans les cas précédents). a et c peuvent prendre toutes les valeurs entre 1 et 5, donc

    5 x 5 =25 éventualités

    Total :

    35+30+25=91

    p(x=6)=9163=91216p(x=6)=\frac{91}{6^3}=\frac{91}{216}

    En organisant ainsi, je t'indique les résultats pour X=5, X=4, X=3, X=2 et X=1

    Sauf erreur
    p(x=5)=61216 p(x=4)=37216 p(x=3)=19216 p(x=2)=7216 p(x=1)=1216p(x=5)=\frac{61}{216} \ p(x=4)=\frac{37}{216} \ p(x=3)=\frac{19}{216} \ p(x=2)=\frac{7}{216} \ p(x=1)=\frac{1}{216}

    La somme des probabilités vaut bien 1

    Remarque : en généralisant ce raisonnement, tu peux obtenir une formule (en fonction de k) pour P(X=k), pour tout k entier compris entre 1 et 6



  • Pour la formule :

    P(X=k)=∑$$^{6_{k=1}$}$ka+(k-1)b+ ?

    je comprends les calculs faits mais il me semble difficile de généraliser sous la forme d'une formule...



  • La formule que tu proposes ne convient pas...tu dois trouver une expression de P(X=k) en fonction de k .

    Si tu as compris le raisonnement, tu appliques exactement le même

    Soit (a,b,c) les 3 résultats des dés.

    Commence par prendre k ≥ 3 (pour pouvoir appliquer les 3 cas)

    1er cas a=k
    b et c peuvent prendre toutes les valeurs entre 1 et k , donc
    k x k éventualités

    2eme cas b=k
    a ne peut pas prendre la valeur k (car on tomberait dans le cas précédent). a peut prendre toutes les valeurs entre 1 et k-1
    c peut prendre toutes les valeurs entre 1 et k, donc:
    ... x ... éventualités

    3eme cas c=k
    a et b ne peuvent pas prendre la valeur k (car on tomberait dans les cas précédents). a et c peuvent prendre toutes les valeurs entre 1 et (k-1), donc
    ... x ... éventualités

    Total : P(X=k) = ...............

    Après transformation, tu dois trouver ;

    p(x=k)=3k23k+163p(x=k)=\frac{3k^2-3k+1}{6^3}

    Pour k=2 et k=1, la formule trouvée s'applique encore.


 

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