Échantillonnage 7

Bonjour,

là aussi, je veux juste qu'on me corrige s'il vous plait.

Un restaurant souhaite analyser le montant que ses clients dépensent dans son restaurant. Il prélève un échantillon aléatoire simple de clients. Supposant que le montant dépensé par personne suit une loi normale N(180 , 100 )

*Ils n'ont pas précisé alors j'ai considéré 100 comme étant la variance, et 10 l'écart-type. *

Supposant que la variance $σ2\sigma ^{2}$ , du montant dépensé par ces clients, est inconnues et qu'il obtient en utilisant son échantillon un écart-type s=10,4. Quelle est la probabilité d'observer une moyenne échantillon s'écartant de sa valeur espérée de moins de 20 ?

Ce qui m'a perturbé un peu c'est s, je ne cherche pas la probabilité, mais je veux juste savoir si j'ai travaillé avec la bonne loi, celle de $xˉn\bar{x}_{n}$ , écrite au dessous.

Bon, on a $x∼n(180;100)x\sim n(180; 100)$ avec X: Le montant dépensé par chaque personne.
Donc $xˉn∼n(μ,sn)=n(180;10,4100)=n(180;10,410)\bar{x}_{n}\sim n(\mu ,\frac{s}{\sqrt{n}})=n(180;\frac{10,4}{\sqrt{100}})=n(180;\frac{10,4}{10})$

Et puis en cherche : $p(∣xˉn−180∣≤20)p(\left|\bar{x}_{n}-180 \right|\leq 20)$

Merciiii.

Bonjour,

Je ne fais que desremarques car cet énoncé me semble contenir des contradictions et inutilité....

Si tu as vraiment recopié l'énoncé tel qui qui t'a été proposé,
tu ferais mieux de demander les explications à la personne qui l'a écrit ! ! !

$\sim n(180,100)$

En utilisant les notations usuelles, $σ=10m=180,\ \sigma^2=100,\ \sigma=10$

Citation
Supposant que la variance \sigma ^{2}, du montant dépensé par ces clients, est inconnues????? ceci est mystérieux....

$var(x‾n)=σ2n=100nvar(\overline x_n)=\frac{\sigma^2}{n}=\frac{100}{n}$

n est la taille de l'échantillon; je ne vois pas cette taille écrite dans les données....tu sembles avoir pris n=100

Vu que σ=10,

$xn‾∼n(180,σn)\overline{x_n}\sim n(180, \frac{\sigma}{\sqrt n})$

$xn‾∼n(180,10n)\overline{x_n}\sim n(180, \frac{10}{\sqrt n})$

Je ne vois pas l'utilité de s=10.4 qui est l'écart-type de l'échantillon et non de la population...

J'ai recopié l'énoncé comme elle est écrite, sauf que j'ai sauté les premières questions, puisque celle que j'ai posé est la dernière. Je m'excuse. Voici les autres questions:

a-Quelle est la loi de $xˉ\bar{x}$ lorsque n=5 ?
b-Quelle est la loi de $xˉ\bar{x}$ lorsque n=100 ?
c-Considérons à présent que n=100. Quelle est la probabilité d'observer une moyenne échantillon se situant à moins de 10 , de la valeur espérée?
d-Dans quel intervalle centré autour de la valeur espérée a-t-on 99% de chances d'observer la moyenne échantillon?
e-Quelle est la loi de la statistique S²? Quelle est son espérance?
f- La question que j'ai écris au dessus.

Je ne suis pas sur si la question e- à une relation avec la question f-, mais je vais noter ma réponse en cas de oui.

$n−1σ2s2n∼x2n−1\frac{n-1}{\sigma ^{2}}s^{2}{n}\sim x^{2}{n-1}$
on a n=100 , n-1 = 100 -1 = 99 , $σ2=100\sigma ^{2}=100$ donc $99100s2100∼x299\frac{99}{100}s^{2}{100}\sim x^{2}{99}$

D’où $e(99100s2100)=99100↔e(s2100)=1e(\frac{99}{100}s^{2}{100})=\frac{99}{100}\leftrightarrow e(s^{2}{100})=1$
et $v(99100s2100)=2×99100↔v(s2100)=20099v(\frac{99}{100}s^{2}{100})=\frac{2\times 99}{100}\leftrightarrow v(s^{2}{100})=\frac{200}{99}$

Moi je me suis demandé surtout si il faut utilisé la loi de student, celle de : $nsn(xˉn−μ)∼tn−1\frac{\sqrt{n}}{s_{n}(\bar{x}{n}-\mu)}\sim t{n-1}$

Au dessus de la f) il y a la e).

Je regarde donc ce que demande la e)

Ta démarche me semble juste mais ton calcul de l'espérance est inexact ainsi que celui de la variance.

Pour l'espérance :

$e(xn−12)=n−1e(x^2_{n-1})=n-1$

donc

$e(x992)=99e(x^2_{99})=99$

$e(99100s1002)=99e(\frac{99}{100}s^2_{100})=99$

Tu dois trouver

$e(s1002)=100e(s^2_{100})=100$

Pour la variance

$v(xn−12)=2(n−1)v(x^2_{n-1})=2(n-1)$

$v(x992)=2(99)v(x^2_{99})=2(99)$

$v(99100s1002)=2(99)v(\frac{99}{100}s^2_{100})=2(99)$

Tu dois trouver

$v(s1002)=2000099v(s^2_{100})=\frac{20000}{99}$

Remarque (j'ignore si cela fait partie de ton cours)

Pour S², tu peux éviter les étapes (pour n ≥ 30)

$\fbox{e(s^2_n)\simeq \sigma^2 \ v(s^2_n)\simeq \frac{2\sigma^4}{n-1}}$

Ah ouiiii ! Vous me l'aviez déjà indiqué dans un autre exercice, je ne sais pas comment j'ai commis une telle faute... Oups...

Et oui, cela ne fait pas partie de mon cours, mais il faut que je le sache

Donc, pour la question -f, est ce qu'elle a une relation avec -e ?

Je ne sais pas trop de quoi tu parles par "question f"...

S'il s'agit de la loi de student, je ne vois pas le lien avec la question relative à S²

Regarde peut-être ici ( surtout le 4 :Application )

http://www.iutbayonne.univ-pau.fr/~grau/2A/stat/cadre2.html

Je parle de la question que j'ai posé, avant de poster tout l'exercice...

S'il s'agit du début de ce topic entaché de confusions, je t'ai déjà fait des remarques et ne vais pas t'en dire plus.

Bon travail!

Aaaah d'accord. Merciiiiiii comme toujours !