déduction à partir de la formule de Leibniz

[boo35]

Bonjour,
voici l'exercice
On as une fonction f(x)=1/(1+x²)^1/2
avec f(^n)(x)=Pn(x)/(1+x²)^(n+1)/2

j'ai vérifier que (1+x²)f ' (x)+xf(x)=0

mais je suis bloquer après, en déduire avec la relation de leibniz ( (fg)(n)=∑k=0nnkf(k)g(n−k)) que ∀n∈N*, ∀x∈R Pn+1(x)+(2n+1)xPn(x)+n²(1+x²)Pn-1(x)=0

pourriez vous m'aider svp merci d'avance

[mtschoon]

Bonjour,

Piste,

Je n'ai pas fait les calculs mais en utilisant ce que te dit l'énoncé, ça doit fonctionner.

(1+x²)f'(x)+xf(x)=0

Avec la formule de Leibniz (utilisée à chacun des deux produits) , tu peux calculer la dérivée $n^{i\grave{e}me}$ du membre de gauche (qui vaudra 0)

Pour la dérivée $n^{i\grave{e}me}$ de (1+x²)f'(x) tu n'auras que 3 termes(k=0,1,2) vu qu'à partir de k=3, la dérivée $k^{i\grave{e}me}$ de (1+x²) vaut 0

Pour la dérivée $n^{i\grave{e}me}$ de (x)f(x) tu n'auras que 2 termes( k=0,1) vu qu'à partir de k=2, la dérivée $k^{i\grave{e}me}$ de (x) vaut 0

En faisant la somme de ces 2 dérivées $n^{i\grave{e}mes}$, tu obtiendrais la dérivée $n^{i\grave{e}me}$ de (1+x²)f'(x)+xf(x) qui vaut 0

Tu obtiendras ainsi une relation entre $f^{(n+1)}$, $f^{(n)}$ et $f^{(n-1)}$

En exprimant $f^{(n+1)}$, $f^{(n)}$ et $f^{(n-1)}$ en fonction de $P_{n+1}$, $P_n$ et $P_{n-1}$ et en transformant un peu, tu dois obtenir la relation souhaitée.

Bons calculs !