les solutions d'une Equation avec les fonctions racines

bonjour,

Soit à résoudre l’équation :

$e1:1+z3−1−z3=1−z26e_{1} : \sqrt[3]{1+z}-\sqrt[3]{1-z}=\sqrt[6]{1-z^{2}}$

posant $a=1+z3a=\sqrt[3]{1+z}$ et $b=1−z3b=\sqrt[3]{1-z}$

$e_1$ est equivalente à $e_2$ :

$ab−ba=1e_2:\ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=1$

posant $t=abt=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ , et $t$ verifier :

$e_{3}:\ t^2-t-1$

ma question :

Résoudre l'équation $e_3$ et en déduire la solution $α\alpha$ de l’équation $e_{1}$ ?

Mon Essai

en effet,

le discriminant de $e_3$ est $δt=5≥0\delta t=5\geq 0$ donc il y a deux solutions distinct

$t=abt=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

$a=tb⟷a=t2b\sqrt{a}=t\sqrt{b} \longleftrightarrow a=t^2b$

$a=t22b(t_1, t_2) \in {\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}} \longleftrightarrow s:\ \begin{cases} a=t_1^2b \ \ a=t_2^2b \end{cases}$

je suis bloqué ici j arrive pas a résoudre le system S
Est ce que mon resonamant est correcte ? est ce qu'il y a d'autre méthode pour resoudre $e_{3}$

merci pour votre attention

Bonjour,

Ce qui me gène dans ce que tu as fait, ce ne sont pas tes calculs proprement dits mais les conditions d'existence absentes...

Sur quel ensemble travailles_tu ? R ?

a et b sont-ils strictement positifs ? tu sembles le supposer vu que tu écris $t=sqrtabt=\frac{sqrt a}{\sqrt b}$ , mais il faut la preuve...

En voie de conséquence, t est strictement positif

Alors, sur les deux solutions que tu as calculées pour t, une seule convient !

Il ne doit rester que : $a=(1+52)2ba=(\frac{1+\sqrt 5}{2})^2b$

Pour la fin du calcul :

élève à la puissance 3 : $a3=(1+52)6b3a^3=(\frac{1+\sqrt 5}{2})^6b^3$

retourne à z :

$1+z=(1+52)6(1−z)1+z=(\frac{1+\sqrt 5}{2})^6(1-z)$

Tu as une équation du premier degré d'inconnue z

La réponse ne sera pas très belle... (valeur approchée 0.89)

Bon travail.