injection , surjection

bns qui peut m'aider
montrer que une fonction f : X → Y est injective si et seulement si X est l'ensemble vide ou il existe une fonction g : Y → X telle que g∘f soit égale à l'application identité sur X

Bonjour,

Quelques idées éventuelles,

Il faut bien sûr faire partie directe et partie réciproque.

Une piste possible pourla partie directe

Soit f injective de X vers Y

Tu discutes suivant f(X),

1er cas f(X)=∅

Tu peux prouver que X=∅
raisonne par l'absurde.
Si X≠∅, X contient au moins un élément x
f étant une application de X vers Y, cet élément x a une image y dans f(X) donc f(X)≠∅
Contradiction

2ème cas f(X)≠∅

Soit y un élément quelconque de f(X)
y admet , dans X, un antécédent unique x par f
on peut appeler g(y) cet élément x : g(y)=x

alors : gof(x)=g[f(x)]=g(y)=x

donc $gof=Id_X$

Explicite cela et passe à la partie réciproque.

est ce que en peut résonner sans utiliser la partie directe? de plus j'ai pas compris comment x=g(y) merci de me mieux expliquer

A cause du "si et seulement si", il faut impérativement faire les deux parties (directe et réciproque)

Pour x=g(y) : je te suggère de faire des schémas qui éclairent le raisonnement.

y de f(X) admet ,dans X, un antécédent unique x, dont x peut être considéré comme l'image de y par une application g de f(X) vers X.

merci bien maintenant si on veut montrer f : X → Y est surjective si et seulement si X est l'ensemble vide ou il existe une fonction g : Y → X telle que f∘g soit égale à l'application identité sur Y

J'espère que tu as fait la partie réciproque pour l'injection, vu que tu passe à la surjection

Pour la surjection, tu utilises la même démarche ( partie directe et partie réciproque)

Je te mets des pistes ( à expliciter ) pour la partie directe.

Soit f surjective de X vers Y.

Tu discutes suivant Y

1er cax : Y=∅

En raisonnant par l'absurde, tu prouves que X=∅

2ème cas : Y≠∅

Soit y un élément quelconque de Y
y admet au moins un antécédent x de X.
x=g(y) ( tu fais l'explication)

y=f(x)=f[g(y)])=fog(y)

donc $fog=Id_Y$

Tu fais maintenant la partie réciproque.

Si tu veux quelques pistes sur la ( ou les ) parties réciproques, demande ici.

bon pour la partie rec j'ai pensé a gof=idX et puisque l'app idX est injective par def donc gof est injective donc par csq et d’après les résultat du cours f est injective mais la partie direct j'ai pas totalment compris sur tout pour la surjection et merci bien

cela est bien confus...

Si tu parles de la partie réciproque relative à l'injection, ton raisonnement n'est pas bon.

Il faut partir de :
X est l'ensemble vide ou il existe une fonction g : Y → X telle que g∘f soit égale à l'application identité sur X
etDEMONTRER que f est injective.

Si tu n'y arrives pas, je t'indiquerai une possibilité.

j'ai pas cmpris

Une explication possible pour la partie réciproque relative à l'injection.

Hypothèse: X est l'ensemble vide ou il existe une fonction g : Y → X telle que g∘f soit égale à l'application identité sur X

Conclusion à démontrer : f est injective

DEMONSTRATION

1er cas : X=∅

tout élément de Y n'a aucun antécédent , donc au plus un antécédent, donc f injective.

2eme cas : X ≠∅ ; il existe une fonction g : Y → X telle que g∘f soit égale à l'application identité sur X

Soit x et x' deux éléments de X tels que f(x)=f(x')

Vu que $gof=Id_X$ ,

x= gof(x)=g[f(x)]=g[f(x')]=gof(x')=x'

donc x=x'

donc f injective.

CQFD

*Réfléchis à tout ça et détaille l'explication.

Evidemment, on doit aider à faire l'exercice mais pas le faire !*

oui bien sur merci bien