groupe, bijection, homomorphisme

Bonjour à tous!
N'ayant jamais vraiment fait d'algèbre au paravant, je ne sais pas par où commencer... Je comprends la question mais je ne sais vraiment pas comment démontrer. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider? Merci beaucoup!

(G,∗) est un groupe. a∈G. L'application $T_a$ : G->G: $T_a$ (g)=a∗g ∀g∈G.

Montrer que $T_a$ est bijective (injective et surjective)
2)Montrer que $T_a$ est un homomorphisme si et seulement si a=e (élément neutre de G)

Bonjour,

Quelques pistes à creuser,

1)a) Pour montrer que Ta est injective.

Soit g1 et g2 deux éléments quelconques de G

Ta(g1)=ag1

Ta(g2)=ag2

Ta(g1)=Ta(g2)=> ag1=ag2

G est un groupe donc tout élément de G est régulier , donc g1=g2

Remarque : si cette propriété n'est pas dans ton cours, tu la prouves.

Soit a' le symétrique de a pour *

ag1=ag2 => a'(ag1)=a'(ag2)

(par associativité de *) (a'*a)*g1=(a'a)g2 => eg1=eg2 => g1=g2

Donc Ta injective

1)b**)Pour montrer que Ta est surjective**

Soit y un élément quelconque de G

est interne dans G donc a*y est un élément de G

Il existe donc un élément x de G tel que a*y=x

doncx=Ta(y)

DoncTa surjective.

Ta homomorphisme <=> Pour tout x et tout y de G

*Ta(x*y)=Ta(x)Ta(y)

Le groupe G est-il abélien ( c'est à dire * est -elle commutative ? )

Si c'est le cas

Ta(x)=ax
Ta(y)=ay

Par associativité et commutativité

Ta(x)Ta(y)=(ax)(ay)=(aa)(x*y)

Ta(xy)=a(x*y)

Ta(x*y)=Ta(x)Ta(y) <=> **aa=a**

Tu peux simplifier directement par a pour trouver a=e ou tu peux détailler :

a' étant le symétrique de a

aa=a <=> a'(a*a)=a'*a <=> (a'*a)*a=a'a <=> ea=e <=> a=e

Regarde, vérifie et améliore tout ça.

Merci vraiment beaucoup pour la réponse très détaillée!
Peux-tu m'expliquer ce qu'est un "symétrique" quand tu dis a' le symétrique de a pour *???

Merci beaucoup!

a' est l'élément de G tel que :

*a*a'=a'a=e

Peut-être que dans ton cours le symétrique de a est noté $a^{-1}$ ?
Je l'ignore...

J'ai utilisé a' car c'est plus facile à écrire.