exo suite géométrique



  • Bonjour, j’ai un exercice à faire sur les suites géométriques, j'ai démarrer mais je bloque pour la suite. Voici l’énoncé :
    A. Au 1er Janvier 2002, le pays A compte 20 millions d’habitants et sa population augmente en moyenne annuellement de 1,6%.
    On note Pn le nombre d’habitants (en millions) au 1er janvier de l’année 2002 + n
    1° Montrer que la suite (Pn) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son terme initial P0.
    En déduire l’expression de Pn en fonction de n.
    2° On décide de modéliser l’évolution de la population du pays A par la fonction f définie sur [0 ;+inf.[ par :
    f(t) = 20 * 1,016^t (* veut dire multiplier et ^ veut dire puissance de )
    Où t est le temps écoulé depuis le 1er janvier 2002 et f(t) le nombre d’habitants au temps 2002 + t exprimé en millions.
    a) Etudier le sens de variation de f sur [0 ; +inf.[
    b) Calculer la limite de f en + inf.

    B. Au 1er janvier 2002, le pays B compte 25 millions d’habitants et l’évolution de sa population est modélisée par la fonction g définie sur [0 ; +inf.[ par :
    g(t) = 25 ( 1 + t)^0,11
    1° Etudier le sens de variation de g
    2° Calculer la limite de g en + inf.
    3° A l’aide du graphique, lire en quelle année la population du pays A dépassera celle du pays B

    C. Le but de cette partie est de retrouver par le calcul et avec plus de précision le résultat de la question 3° Partie B
    1° On considère la fonction h définie sur [0 ; +inf.[ par :
    h(t) = t ln(1,016) - 0,11 ln(1 + t) + ln0,8
    a)Etudier le sens de variation de h
    b) Montrer que l’équation h(t) = 0 a une unique solution M sur [0 ; +inf.[
    Donner un encadrement de M à 10^-1 près
    c) en déduire le signe de h(t) sur [0;+inf[

    2°a) Montrer que, sur [0;+inf.[ :
    f(t) >> g(t) < = > h(t) >>0
    b) En déduire durant quelle année la population du pays A dépassera celle du pays B

    J'ai donc fait :
    Puisque la population augmente de 1,6% par an, la relation entre Pn et Pn+1 est :
    Pn+1 = Pn + Pn * (1,6/100)= Pn + 0,016Pn = 1,016Pn
    On a donc une suite géométrique de raison 1,016.
    P0 est le nombre d'habitants en 2002 soit P0 = 20

    2°a)On a donc ici f’(t) = 20*ln(1,016)*1,016^t
    1,016>1 donc ln(1,016)>0
    La fonction dérivée est strictement positive, la fonction f est strictement croissante

    b) a = 1,016>1 donc lim 1,016^t = +inf.(kan x tend vers +inf.) soit lim f(t) = +inf. (quand x tend vers +inf.)

    Pourriez vous me dire si c’est exact et m’aider pour la suite
    Merci beaucoup



  • salut

    ca à l'air un peu long à faire étant donné qu'il faut essayer de répondre à tout le monde sur le forum, pourrait tu nous dire à quels sont tes difficultés pour résoudre ce problème?


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