Puissances d'irrationnels



  • Bonjour à tous.
    Un petit problème classique :
    Déterminer un nombre positif irrationnel a, et un nombre positif irrationnel algébrique b, tels que aba^b soit rationnel.
    Pour justifier cotre réponse, afin que cette « énigme » soit amusante, vous n’avez pas le droit d’utiliser le théorème de G…-S …
    Bonne recherche.


  • Modérateurs

    Bonjour Mathtous ,

    Sans utiliser le théorème de G..._S..., je verrais bien un petit raisonnement amusant autour de 22\sqrt 2^{\sqrt 2}



  • Bonjour Mtschoon,
    Sauf à ne pas vouloir déflorer le sujet (s'il intéresse quelqu'un d'autre),
    ton nombre √$2^{√2}$ est-il rationnel ?


  • Modérateurs

    Bonsoir Mathtous,

    Je dirais qu'il n'est pas possible d'être sûr de l'irrationalité de 22\sqrt 2^{\sqrt 2} ( vu que le théorème de G-S ne doit pas être utilisé)

    Si personne d'autre ne répond, je t'indiquerai ma proposition.


  • Modérateurs

    Voici ma proposition avec des √2

    Evidemment, Mathtous, si tu en as une autre, elle sera la bienvenue !

    2\sqrt 2 est irrationnel, mais 22\sqrt 2^{\sqrt 2} est-il irrationnel ?

    Une réponse à la question posée, en l'ignorant.

    Hypothèse: 22\sqrt 2^{\sqrt 2} est rationnel.

    Dans ce cas, la réponse est donnée avec :
    a=2a=\sqrt 2 et b=2b=\sqrt 2

    Hypothèse : 22\sqrt 2^{\sqrt 2} est irrationnel.

    \(sqrt22)2=22=2\(sqrt 2^{\sqrt 2})^{\sqrt 2}=\sqrt 2^2=2

    Dans ce cas, vu que 2 est rationnel, la réponse est donnée avec :
    a=22a=\sqrt 2^{\sqrt 2} et b=2b=\sqrt 2 ,

    CQFD.

    Bien sûr, le théorème de Gelfond-Schneider prouve que 22\sqrt 2^{\sqrt 2} est irrationnel, mais cela n'est pas utile ici de le savoir, vu que les deux cas sont envisagés.



  • Bonjour Mtschoon,
    Bien entendu, c'est également la solution à laquelle j'ai songé.
    Toutefois, certains logiciens (tels Browser) adeptes de la "logique intuitionniste", rejettent cette solution comme non constructive : l'ignorance de la nature de √$2^{√2}$ permet de prouver l'existence d'une solution mais pas d'en exhiber une.
    Quel est ton avis sur la question ?


  • Modérateurs

    Je suis tout à fait de cet avis .

    Si on s'impose de ne pas tenir compte de l'irrationalité de 22\sqrt 2^{\sqrt 2} , on prouve qu'il y a nécessairement une solution, mais on ne peut pas dire laquelle...

    Je n'ai pas approfondi le théorème de Gelfond-Schneider pour prouver l'irrationalité de 22\sqrt 2^{\sqrt 2} .

    Si tu connais la démonstration, et si un jour tu as le temps, ce serait très bien de la donner (au moins les grandes lignes) à condition qu'elle soit "abordable" bien sûr !



  • Trop difficile pour moi.
    J'ai donc cherché si on pouvait démontrer l'irrationalité de √$2^{√2}$ (ou celle de $2^{√2}$) sans démontrer pour autant qu'il est transcendant : fiasco.


  • Modérateurs

    Merci Mathtous de t'être penché sur le problème.


 

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