Ensembles et applications



  • Bonsoir, merci de bien vouloir m'aider

    B) Soient A B ⊂ X, montrer que f(AUB)=f(A) U f(B), puis montrer que f(AnB) ⊂ f(A) n F(B) et donner un exemple où l'inclusion est stricte.

    D) Montrer que f est bijective si,et seulement si, pour toutes parties A de X, on a Y\f(A)= f(X\A)



  • Bonjour,

    Ton énoncé n'est pas très explicite...

    f est-elle une application de X vers Y ?
    Je le suppose.

    Une possibilité pour commencer mais tout dépend de ce que te dit ton cours.

    Sais-tu que U ⊂ V => f(U) ⊂ f(V) ?

    Si cela fait partie de ton cours, tu peux l'utiliser directement pour les deux premières formules à démontrer .
    Sinon, tu le prouves (c'est facile):
    Soit y ∈ f(U)
    ∃ x ∈ U / y=f(x)
    Vu que U ⊂ V, x ∈ V, donc y ∈ f(V) donc f(U) ⊂ f(V)

    Pour montrer que f(AUB)=f(A) U f(B)

    a) partie directe

    A ⊂ A ∪ B => f(A) ⊂ f(A ∪ B)
    B ⊂ A U B => f(B) ⊂ f(A U B)

    Donc f(A) ∪ f(B) ⊂ f(A ∪ B)

    b) partie réciproque

    Soit y ∈ f(A ∪ B)
    ∃ x ∈ A ∪ B / y=f(x)

    Si x ∈ A , alors y ∈ f(A)
    Si x ∈ B , alors y ∈ f(B)
    Donc, quel que soit le cas : y ∈ f(A) U f(B)

    Donc :f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B)

    Pour montrer que f(A∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B)

    Tu peux utiliser la mëme démarche qu'au a)

    A ∩ B ⊂ A => .........
    A ∩ B ⊂ B => ..........

    Tu poursuis.



  • A ∩ B ⊂ A => f(A)nf(B) C f(A)
    A ∩ B ⊂ B => f(B)n f(A) C f(B)



  • Tire la conclusion de ces deux inclusions.



  • Donc f(A) n f(B) C f(AnB)

    je n'arrive pas du tout pour la D)



  • Tu sembles passer à la D) sans avoir terminer la B).
    Peut-être as-tu trouvé un contre-exemple au sujet de l'inclusion stricte.

    Pour la D), il y a du travail (partie directe et partie réciproque) et pour prouver la "bijectivité" de f, il faut faire surjection et injection.

    Piste possible,

    Notations utilisées :

    a =\overline{a }\ =X \ A

    f(a) =\overline{f(a) }\ =Y \ f(A)

    a) Pistes pour la partie directe

    Hypothèse : Pour toute partie A de X : f(a)=f(a)f(\overline{a})=\overline{f(a)}

    Pour prouver que f est surjective, tu peux prendre A=∅

    a=x\overline{a}=x

    f(a)=f(\empty)=\emptyf(a)=f(\empty)=\empty

    Avec l'hypothèse : f(\empty)=f(\empty)f(\overline{\empty})=\overline{f(\empty)}

    En explicitant cette égalité et en raisonnant, tu trouves que f(x)=yf(x)=y

    Donc f surjective

    Soit x1x_1 et x2x_2 deux éléments distincts de X

    Pour prouver que f est injective, tu peux prendre a = x1a\ =\ {x_1}

    Tu prouves, en raisonnant, que f(x1f(x_1) ≠ f(x2f(x_2)

    Donc f surjective

    Lorsque tu as fait ça, tu passes à la partie réciproque (à toi de faire)


 

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