Ensembles et applications

Bonsoir, merci de bien vouloir m'aider

B) Soient A B ⊂ X, montrer que f(AUB)=f(A) U f(B), puis montrer que f(AnB) ⊂ f(A) n F(B) et donner un exemple où l'inclusion est stricte.

D) Montrer que f est bijective si,et seulement si, pour toutes parties A de X, on a Y\f(A)= f(X\A)

Bonjour,

Ton énoncé n'est pas très explicite...

f est-elle une application de X vers Y ?
Je le suppose.

Une possibilité pour commencer mais tout dépend de ce que te dit ton cours.

Sais-tu que U ⊂ V => f(U) ⊂ f(V) ?

Si cela fait partie de ton cours, tu peux l'utiliser directement pour les deux premières formules à démontrer .
Sinon, tu le prouves (c'est facile):
Soit y ∈ f(U)
∃ x ∈ U / y=f(x)
Vu que U ⊂ V, x ∈ V, donc y ∈ f(V) donc f(U) ⊂ f(V)

Pour montrer que f(AUB)=f(A) U f(B)

a) partie directe

A ⊂ A ∪ B => f(A) ⊂ f(A ∪ B)
B ⊂ A U B => f(B) ⊂ f(A U B)

Donc f(A) ∪ f(B) ⊂ f(A ∪ B)

b) partie réciproque

Soit y ∈ f(A ∪ B)
∃ x ∈ A ∪ B / y=f(x)

Si x ∈ A , alors y ∈ f(A)
Si x ∈ B , alors y ∈ f(B)
Donc, quel que soit le cas : y ∈ f(A) U f(B)

Donc :f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B)

Pour montrer que f(A∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B)

Tu peux utiliser la mëme démarche qu'au a)

A ∩ B ⊂ A => .........
A ∩ B ⊂ B => ..........

Tu poursuis.

A ∩ B ⊂ A => f(A)nf(B) C f(A)
A ∩ B ⊂ B => f(B)n f(A) C f(B)

Tire la conclusion de ces deux inclusions.

Donc f(A) n f(B) C f(AnB)

je n'arrive pas du tout pour la D)

Tu sembles passer à la D) sans avoir terminer la B).
Peut-être as-tu trouvé un contre-exemple au sujet de l'inclusion stricte.

Pour la D), il y a du travail (partie directe et partie réciproque) et pour prouver la "bijectivité" de f, il faut faire surjection et injection.

Piste possible,

Notations utilisées :

$=\overline{a }\ =$ X \ A

$=\overline{f(a) }\ =$ Y \ f(A)

a) Pistes pour la partie directe

Hypothèse : Pour toute partie A de X : $f(a‾)=f(a)‾f(\overline{a})=\overline{f(a)}$

Pour prouver que f est surjective, tu peux prendre A=∅

$a‾=x\overline{a}=x$

$f(a)=f(∅)=∅f(a)=f(\empty)=\empty$

Avec l'hypothèse : $f(∅‾)=f(∅)‾f(\overline{\empty})=\overline{f(\empty)}$

En explicitant cette égalité et en raisonnant, tu trouves que $f (x) = y$

Donc f surjective

Soit $x_1$ et $x_2$ deux éléments distincts de X

Pour prouver que f est injective, tu peux prendre $a\ =\ {x_1}$

Tu prouves, en raisonnant, que $f(x_1$ ) ≠ $f(x_2$ )

Donc f surjective

Lorsque tu as fait ça, tu passes à la partie réciproque (à toi de faire)