Montrer qu'une matrice est inversible

[upriser22]

Bonsoir, je rencontre quelques difficultés à propos d'un exercice sur les matrices:
l'énoncé est le suivant:

Pour tout M∈Mn(ℜ) on définit l'application em suivante
em: R--> Mn(R)
x--> In+x.M+(x²/2).M²
et A la matrice suivante 0 1 1
0 0 1
0 0 0
Montrez que pour tous x, y ∈ R ea(x)*ea(y)=ea(x+y)
en déduire que pour tous x∈R, p∈N (ea(x))^p=ea(px)
et que ea(x) est une matrice inversible

Cordialement

[mtschoon]

Bonjour,

Quelques pistes,

Tes notations ("M" et "m" ainsi que "A" et "a" me semblent bizarres...).

Je les modifie en espérant que ça t'ira...

$\text{e_m(x)=i_n+xm+\frac{x^2}{2}m^2$

$\text{e_a(x)=i_3+xa+\frac{x^2}{2}a^2$

$\text{e_a(y)=i_3+ya+\frac{y^2}{2}a^2$

$\text{e_a(x)\times e_a(y)=(i_3+xa+\frac{x^2}{2}a^2)\times (i_3+ya+\frac{y^2}{2}a^2)$

Tu développes.

Il faut simplifier.

Pour cela, calcule $A^3$ et $A^4$

Tu dois trouver que A est nilpotente d'ordre 3

$a^3=a^4=\left(0\ 0\ 0\0\ 0\ 0\0\ 0\ 0\right)$

Il doit te rester :

$\text{e_a(x)\times e_a(y)=i_3+xa+ya+\frac{x^2}{2}a^2+\frac{y^2}{2}a^2+xya^2$

En regroupant les termes :

$\text{e_a(x)\times e_a(y)=i_3+(x+y)a+\frac{(x+y)^2}{2}a^2$

Donc :

$\fbox{\text{e_a(x)\times e_a(y)=e_a(x+y)}$

CQFD

Pour la seconde question, pour x=y :

$(e_a{)}^2=e_a(x+x)=e_a(2x)$

Tu généralises en faisant une récurrence.

Pour prouver que $e_a(x)$ est inversible, tu peux expliciter $e_a(x)$ et calculer son déterminant que tu trouveras non nul.

Bon travail.