Montrer qu'une matrice est inversible



  • Bonsoir, je rencontre quelques difficultés à propos d'un exercice sur les matrices:
    l'énoncé est le suivant:

    Pour tout M∈Mn(ℜ) on définit l'application em suivante
    em: R--> Mn(R)
    x--> In+x.M+(x²/2).M²
    et A la matrice suivante 0 1 1
    0 0 1
    0 0 0
    Montrez que pour tous x, y ∈ R ea(x)*ea(y)=ea(x+y)
    en déduire que pour tous x∈R, p∈N (ea(x))^p=ea(px)
    et que ea(x) est une matrice inversible

    Cordialement


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Quelques pistes,

    Tes notations ("M" et "m" ainsi que "A" et "a" me semblent bizarres...).

    Je les modifie en espérant que ça t'ira...

    $\text{e_m(x)=i_n+xm+\frac{x^2}{2}m^2$

    $\text{e_a(x)=i_3+xa+\frac{x^2}{2}a^2$

    $\text{e_a(y)=i_3+ya+\frac{y^2}{2}a^2$

    $\text{e_a(x)\times e_a(y)=(i_3+xa+\frac{x^2}{2}a^2)\times (i_3+ya+\frac{y^2}{2}a^2)$

    Tu développes.

    Il faut simplifier.

    Pour cela, calcule A3A^3 et A4A^4

    Tu dois trouver que A est nilpotente d'ordre 3

    a3=a4=(0 0 0\0 0 0\0 0 0)a^3=a^4=\left(0\ 0\ 0\0\ 0\ 0\0\ 0\ 0\right)

    Il doit te rester :

    $\text{e_a(x)\times e_a(y)=i_3+xa+ya+\frac{x^2}{2}a^2+\frac{y^2}{2}a^2+xya^2$

    En regroupant les termes :

    $\text{e_a(x)\times e_a(y)=i_3+(x+y)a+\frac{(x+y)^2}{2}a^2$

    Donc :

    $\fbox{\text{e_a(x)\times e_a(y)=e_a(x+y)}$

    CQFD

    Pour la seconde question, pour x=y :

    (ea)2=ea(x+x)=ea(2x)(e_a)^2=e_a(x+x)=e_a(2x)

    Tu généralises en faisant une récurrence.

    Pour prouver que ea(x)e_a(x) est inversible, tu peux expliciter ea(x)e_a(x) et calculer son déterminant que tu trouveras non nul.

    Bon travail.


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