Réflexions sur la définition d'un corps

Bonjour à tous.

Un corps est un anneau (unitaire) où tout élément non nul possède un inverse.
Autrement dit, si K est un corps, il en résulte que :
(K,+) est un groupe commutatif dont l’élément neutre est 0 $0_K$ pour les puristes)
(K \ {0} , x) est un groupe dont l’élément neutre est 1 $1_K$ pour les puristes)
Et bien entendu la multiplication est distributive par rapport à l’addition.

Une telle définition exige K \ {0} non vide : il contient $1_K$ et $1_K$ ≠ $0_K$ car $1_K$ ∈ K \ {0} .
Un corps contient donc au moins deux éléments (distincts). Il existe d’ailleurs un corps possédant exactement deux éléments : Z / 2Z.

Toutefois, qui peut le plus peut le moins : pourquoi $0_K$ n’aurait-il pas d’inverse ?
Si une telle situation se produisait, soit z l’inverse de $0_K$ :
On aurait donc z. $0_K$ = $1_K$
Or, z. $0_K$ = $0_K$ car K est un anneau
Donc . $0_K$ = $1_K$ .
Il existe un tel anneau, mais il ne possède qu’un seul élément : c’est Z / 1.Z . Ce n’est donc pas un corps.
Mais rien ne prouve qu’il n’en existe pas d’autres.

Le problème que je pose est donc le suivant :
Pouvez-vous construire un anneau K pour lequel $0_K$ = $1_K$ , qu’on pourra noter e, qui possède au moins un autre élément a distinct de e (voire plusieurs autres, voire une infinité), et tel que tout élément possède un inverse ?

C’est facile.

Bonjour Mathtous,

Comme le forum est calme, je regarde ta question.

Si j'ai bien lu, $0$ _K $1_K$ =e

Ma réponse est Non...

∀ a ∈ K : a = a x e = a x (e + e) = (a x e) + (a x e)

Donc a x e = e

Au final, a = a x e = e donc a = e

K = {e}

J'appellerais ça " l'anneau nul ".

Bonjour Mtschoon,

Banco !
Un anneau dans lequel l'élément neutre de l'addition est égal à celui de la multiplication est forcément réduit à un seul élément.

Une question cependant : pour quelle(s) raison(s) cet anneau est-il exclu de la liste des corps ?
Certes, il ne répond pas à la définition d'un corps puisqu'il possède un seul élément, mais il doit bien y avoir des raisons plus profondes ?

J'imagine que la définition de corps ( avec $0_K$ ≠ $1_K$ ) a été choisie pour que les propriétés des corps soient applicables sans exception.

Un exemple : la notion de caractéristique.
Tout corps fini ( avec $0_K$ ≠ $1_K$ ) a pour caractéristique un nombre premier (et pour cardinal une puissance de ce nombre).
L’anneau "nul" a pour caractéristique 1 et 1 n’est pas un nombre premier.

L'anneau nul fait donc exception.

Il doit y avoir d'autres propriétés pour lesquelles cet anneau nul fait exception à la loi générale des corps, alors...il ne sera pas un corps...

Evidemment, on pourrait continuer l'interrogation : pourquoi 1 n'est pas considéré comme premier ?

Je ferais la même réponse : vraisemblablement, pour que les propriétés des nombres premiers soient applicables sans exception.
Par exemple, pour l’unicité de la décomposition d’un naturel en facteurs premiers.

Ainsi, 1 ne fait pas partie du club des nombres premiers...*

Citation
Par exemple, pour l’unicité de la décomposition d’un naturel en facteurs premiers.Très juste.
Et même le fait que tout entier possède au moins un diviseur premier : on retombera systématiquement sur 1.
Mais en ce qui concerne les corps, je ne vois pas de raison pour exclure l'anneau Z / 1.Z.

J'entends ton interrogation Mathtous.

Pour ma part, je trouve cohérent que la définition de corps ne génère aucune contradiction dans les propriétés usuelles.

Par exemple, Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier.
Donc, si n n'est pas premier, Z/nZ n'est pas un corps.

Pour n=1, vu que 1 n'est pas premier, ça ferait "désordre" que Z/1Z soit considéré comme un corps...

Je me place ainsi dans la globalité ( et je suis très "classique"...).

J'espère que tu auras d'autres avis.