Réflexions sur la définition d'un corps
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Mmathtous dernière édition par
Bonjour à tous.
Un corps est un anneau (unitaire) où tout élément non nul possède un inverse.
Autrement dit, si K est un corps, il en résulte que :
(K,+) est un groupe commutatif dont l’élément neutre est 0 (0K(0_K(0K pour les puristes)
(K \ {0} , x) est un groupe dont l’élément neutre est 1 (1K(1_K(1K pour les puristes)
Et bien entendu la multiplication est distributive par rapport à l’addition.Une telle définition exige K \ {0} non vide : il contient 1K1_K1K et 1K1_K1K ≠ 0K0_K0K car 1K1_K1K ∈ K \ {0} .
Un corps contient donc au moins deux éléments (distincts). Il existe d’ailleurs un corps possédant exactement deux éléments : Z / 2Z.Toutefois, qui peut le plus peut le moins : pourquoi 0K0_K0K n’aurait-il pas d’inverse ?
Si une telle situation se produisait, soit z l’inverse de 0K0_K0K :
On aurait donc z. 0K0_K0K = 1K1_K1K
Or, z. 0K0_K0K = 0K0_K0K car K est un anneau
Donc . 0K0_K0K = 1K1_K1K .
Il existe un tel anneau, mais il ne possède qu’un seul élément : c’est Z / 1.Z . Ce n’est donc pas un corps.
Mais rien ne prouve qu’il n’en existe pas d’autres.Le problème que je pose est donc le suivant :
Pouvez-vous construire un anneau K pour lequel 0K0_K0K = 1K1_K1K , qu’on pourra noter e, qui possède au moins un autre élément a distinct de e (voire plusieurs autres, voire une infinité), et tel que tout élément possède un inverse ?C’est facile.
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Bonjour Mathtous,
Comme le forum est calme, je regarde ta question.
Si j'ai bien lu, 000_K=1K=1_K=1K=e
Ma réponse est Non...
∀ a ∈ K : a = a x e = a x (e + e) = (a x e) + (a x e)
Donc a x e = e
Au final, a = a x e = e donc a = e
K = {e}
J'appellerais ça " l'anneau nul ".
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Mmathtous dernière édition par
Bonjour Mtschoon,
Banco !
Un anneau dans lequel l'élément neutre de l'addition est égal à celui de la multiplication est forcément réduit à un seul élément.Une question cependant : pour quelle(s) raison(s) cet anneau est-il exclu de la liste des corps ?
Certes, il ne répond pas à la définition d'un corps puisqu'il possède un seul élément, mais il doit bien y avoir des raisons plus profondes ?
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J'imagine que la définition de corps ( avec 0K0_K0K ≠1K1_K1K ) a été choisie pour que les propriétés des corps soient applicables sans exception.
Un exemple : la notion de caractéristique.
Tout corps fini ( avec 0K0_K0K ≠1K1_K1K ) a pour caractéristique un nombre premier (et pour cardinal une puissance de ce nombre).
L’anneau "nul" a pour caractéristique 1 et 1 n’est pas un nombre premier.L'anneau nul fait donc exception.
Il doit y avoir d'autres propriétés pour lesquelles cet anneau nul fait exception à la loi générale des corps, alors...il ne sera pas un corps...
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Evidemment, on pourrait continuer l'interrogation : pourquoi 1 n'est pas considéré comme premier ?
Je ferais la même réponse : vraisemblablement, pour que les propriétés des nombres premiers soient applicables sans exception.
Par exemple, pour l’unicité de la décomposition d’un naturel en facteurs premiers.- Ainsi, 1 ne fait pas partie du club des nombres premiers...*
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Mmathtous dernière édition par
Citation
Par exemple, pour l’unicité de la décomposition d’un naturel en facteurs premiers.Très juste.
Et même le fait que tout entier possède au moins un diviseur premier : on retombera systématiquement sur 1.
Mais en ce qui concerne les corps, je ne vois pas de raison pour exclure l'anneau Z / 1.Z.
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J'entends ton interrogation Mathtous.
Pour ma part, je trouve cohérent que la définition de corps ne génère aucune contradiction dans les propriétés usuelles.
Par exemple, Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier.
Donc, si n n'est pas premier, Z/nZ n'est pas un corps.Pour n=1, vu que 1 n'est pas premier, ça ferait "désordre" que Z/1Z soit considéré comme un corps...
Je me place ainsi dans la globalité ( et je suis très "classique"...).
J'espère que tu auras d'autres avis.