Réflexions sur la définition d'un corps


  • M

    Bonjour à tous.

    Un corps est un anneau (unitaire) où tout élément non nul possède un inverse.
    Autrement dit, si K est un corps, il en résulte que :
    (K,+) est un groupe commutatif dont l’élément neutre est 0 (0K(0_K(0K pour les puristes)
    (K \ {0} , x) est un groupe dont l’élément neutre est 1 (1K(1_K(1K pour les puristes)
    Et bien entendu la multiplication est distributive par rapport à l’addition.

    Une telle définition exige K \ {0} non vide : il contient 1K1_K1K et 1K1_K1K0K0_K0K car 1K1_K1K ∈ K \ {0} .
    Un corps contient donc au moins deux éléments (distincts). Il existe d’ailleurs un corps possédant exactement deux éléments : Z / 2Z.

    Toutefois, qui peut le plus peut le moins : pourquoi 0K0_K0K n’aurait-il pas d’inverse ?
    Si une telle situation se produisait, soit z l’inverse de 0K0_K0K :
    On aurait donc z. 0K0_K0K = 1K1_K1K
    Or, z. 0K0_K0K = 0K0_K0K car K est un anneau
    Donc . 0K0_K0K = 1K1_K1K .
    Il existe un tel anneau, mais il ne possède qu’un seul élément : c’est Z / 1.Z . Ce n’est donc pas un corps.
    Mais rien ne prouve qu’il n’en existe pas d’autres.

    Le problème que je pose est donc le suivant :
    Pouvez-vous construire un anneau K pour lequel 0K0_K0K = 1K1_K1K , qu’on pourra noter e, qui possède au moins un autre élément a distinct de e (voire plusieurs autres, voire une infinité), et tel que tout élément possède un inverse ?

    C’est facile.


  • mtschoon

    Bonjour Mathtous,

    Comme le forum est calme, je regarde ta question.

    Si j'ai bien lu, 000_K=1K=1_K=1K=e

    Ma réponse est Non...

    ∀ a ∈ K : a = a x e = a x (e + e) = (a x e) + (a x e)

    Donc a x e = e

    Au final, a = a x e = e donc a = e

    K = {e}

    J'appellerais ça " l'anneau nul ".


  • M

    Bonjour Mtschoon,

    Banco !
    Un anneau dans lequel l'élément neutre de l'addition est égal à celui de la multiplication est forcément réduit à un seul élément.

    Une question cependant : pour quelle(s) raison(s) cet anneau est-il exclu de la liste des corps ?
    Certes, il ne répond pas à la définition d'un corps puisqu'il possède un seul élément, mais il doit bien y avoir des raisons plus profondes ?


  • mtschoon

    J'imagine que la définition de corps ( avec 0K0_K0K1K1_K1K ) a été choisie pour que les propriétés des corps soient applicables sans exception.

    Un exemple : la notion de caractéristique.
    Tout corps fini ( avec 0K0_K0K1K1_K1K ) a pour caractéristique un nombre premier (et pour cardinal une puissance de ce nombre).
    L’anneau "nul" a pour caractéristique 1 et 1 n’est pas un nombre premier.

    L'anneau nul fait donc exception.

    Il doit y avoir d'autres propriétés pour lesquelles cet anneau nul fait exception à la loi générale des corps, alors...il ne sera pas un corps...


  • mtschoon

    Evidemment, on pourrait continuer l'interrogation : pourquoi 1 n'est pas considéré comme premier ?

    Je ferais la même réponse : vraisemblablement, pour que les propriétés des nombres premiers soient applicables sans exception.
    Par exemple, pour l’unicité de la décomposition d’un naturel en facteurs premiers.

    • Ainsi, 1 ne fait pas partie du club des nombres premiers...*

  • M

    Citation
    Par exemple, pour l’unicité de la décomposition d’un naturel en facteurs premiers.Très juste.
    Et même le fait que tout entier possède au moins un diviseur premier : on retombera systématiquement sur 1.
    Mais en ce qui concerne les corps, je ne vois pas de raison pour exclure l'anneau Z / 1.Z.


  • mtschoon

    J'entends ton interrogation Mathtous.

    Pour ma part, je trouve cohérent que la définition de corps ne génère aucune contradiction dans les propriétés usuelles.

    Par exemple, Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier.
    Donc, si n n'est pas premier, Z/nZ n'est pas un corps.

    Pour n=1, vu que 1 n'est pas premier, ça ferait "désordre" que Z/1Z soit considéré comme un corps...

    Je me place ainsi dans la globalité ( et je suis très "classique"...).

    J'espère que tu auras d'autres avis.


Se connecter pour répondre