Implication

Bonsoir merci de bien vouloir m'aider je ne sais pas du tout faire si quelqu'un peut me montrer pour le 1) par exemple.

Exercice

Prouver les implications suivantes :

Soit f : R -> R une fonction paire. Alors, elle n'est pas injective.
Soit f : R -> R une fonction paire et g : R->R une fonction impaire. Alors les fonctions g o f et f o g sont paires.

Bonsoir,

Pistes à détailler,

Utilise la définition de fonction paire et de fonction impaire

f est paire donc pour tout x réel f(-x)=f(x)

-x et x ont donc la même image par f .

pour x non nul , -x et x sont distincts donc...

Pour tout x réel :

gof(-x)=g[f(-x)]=g[f(x)]=gof(x) donc ...

fog(-x)=f[g(-x)]=f[-g(x)]=f[g(x)]=fog(x) donc...

reposte si tu ne trouves pas cela assez explicité.

Merci d'avoir repondu,

f est paire donc pour tout x réel f(-x)=f(x)

-x et x ont donc la même image par f .

pour x non nul , -x et x sont distincts donc f n'est pas injective

Pour tout x réel :

gof(-x)=g[f(-x)]=g[f(x)]=gof(x) donc c'est impaire

fog(-x)=f[g(-x)]=f[-g(x)]=f[g(x)]=fog(x) donc les fonctions sont paires.

cela suffit pour prouver ces implications ?

Il faut que tu détailles un peu plus les explications, il me semble.

Pour la 2), ta conclusion au premier calcul est mauvaise : gof estpaire

Pour ta conclusion au second calcul, " donc les fonctions sont paires" n'a guère de sens car il s'agit d'une seule fonction fog ( qui est paire)

d'accord merci

De rien !

Pour la 2), j'espère que tu as vraiment compris la transformation.

Dans le doute, je te détaille un peu un des deux cas (même raisonnement pour l'autre)

Soi x un réel quelconque

Par définition de la loi o , fog(-x)=f[g(-x)]

Vu que g est impaire : g(-x)=-g(x) donc : f[g(-x)]=f[-g(x)]

f est paire donc pour tout X réel : f[-X]=f[X]

En posant X=g(x) , on obtient : f[-g(x)]=f[g(x)]

Vu que f[g(x)]=fog(x) , au final :

∀x∈R fog(-x)=fog(x)

Conclusion : fog est paire.

Je peux mettre ce que j'ai fait, pour que tu me dises si c'est bon ?

Je pourrais te donner mon avis, si ça t'arrange (mais je ne connais pas les exigences de ton professeur...)

d'accord merci de ton aide,

Definition: une fonction est paire pour tout x réel
Definition : Une fonction est injective si f(x)=f(x’)=> x=x’

Vu que f est paire –x et x ont la même image.
Pour x non nul, -x et x sont distinct.
Alors la fonction n’est pas injective.

Definition :
Fonction paire= f(-x)=f(x) ce qui équivaut à dire que fog(-x)=f[g(-x)]
Fonction impaire= g(-x)=-g(x) ce qui équivaut à dire que f[g(-x)]=f[-g(x)]

gof(-x)=g[f(-x)]=g[f(x)]=gof(x) donc gof est paire
fog(-x)=f[g(-x)]=f[-g(x)]=f[g(x)]=fog(x)
f[g(x)]=fog(x)
Donc ∀x∈R fog(-x)=fog(x)

donc fog est paire.

Qu'en penses-tu ?

Tu devrais améliorer les lignes où tu parles de "définition".

Evite les "ce qui équivaut à dire" qui ne sont pas justifiés.
Mets plutôt "implique" : c'est suffisant pour la démonstration.

Mais, c'est à toi de faire...

L'exercice est sur 4 points, tu me metterai combien ?

Ce sera plutôt à toi de nous dire combien ton professeur t'aura mis...

2/4 ou 3/4