Échantillonnage.

Bonsoir tout le monde, j'espère que vous allez tous bien.
Cela dit, j'ai deux problèmes avec un exercice sur lesquels j'aimerai bien avoir une clarification s'il vous plait.

Exercice:

En 1955, Wechler a proposé de mesurer le QI (Quotient Intellectuel) des adultes grâce à deux échelles permettant de mesurer les compétences verbales et les compétences non verbales. On compare ke score global de la personne testée avec la distribution des scores obtenu par un échantillon représentatif de la population d'un âge donné, dont les performances suivent une loi normale ayant pour moyenne 100 et pour écart-type 15.

1-Quel est le pourcentage de personne dont le QI est inférieur à 80?
2-Quelle chance a-t-on d'obtenir un QI compris entre 100 et 110?

3-Un patient obtenant un score de 69 fait-il partie des 5% inférieur de la distribution?
4-En dessous de quel QI se trouve le tiers des individus?

5-Quel QI minimum faut-il obtenir pour faire partie des 5% d'individus les plus performants?

C'est le 3) et le 5) qui me pose un problème. Le 5% je ne le comprend pas !

Réponses:

Soit m' la v.a relative au QI dans l'échantillon n.
On a $m′∼n(m;σn)m'\sim n(m;\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$ tq $m = 100$ et $σn=15\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=15$

1- $p(m′≤80)=p(z≤80−10015)=9,18p(m'\leq 80)=p(z\leq \frac{80-100}{15})=9,18%$

2- $p(100≤m′≤100)=p(100−10015≤z≤110−10015)=24,86p(100\leq m'\leq 100)=p(\frac{100-100}{15}\leq z\leq \frac{110-100}{15})=24,86%$

3-Ici j'ai eu l'idée de calculer la probabilité suivante:
$p(m′≤69)=p(z≤69−10015)=1,92p(m'\leq 69)=p(z\leq \frac{69-100}{15})=1,92%$
Est ce qu'il faut dès alors déduire que 1,92%<5% donc oui le patient fait partie des 5% inférieur de la distribution ?

4- $p(m′≤a)=13↔p(z≤a−10015)=0,33p(m'\leq a)=\frac{1}{3}\leftrightarrow p(z\leq \frac{a-100}{15})=0,33$

0,33<0,5 donc [tex]\frac{a-100}{15}<0[/tex]

D'ou

[tex]1-Q(Z\leq \frac{-a+100}{15})=0,33[/tex] => $q(z≤−a+10015)=0,67q(z\leq \frac{-a+100}{15})=0,67$ =>
$a = 93, 4$

5-Là aussi, j'ai eu l'idée de calculer la probabilité suivante, mais je n'en suis pas sur:
P(m'>a)=5% je trouve à la fin que $a_{min}=124,675$

C'est tout.
Merci beaucoup.

Bonjour Pinpon,

Pour la 3)

5%=0.05

On doit trouver a tel que P(X ≤ a) = 0.05

On cherche donc a' tel que P(Z ≤ a') = 0.05

On trouve a' ≈ -1.645

Remarque : j'ai utilisé le logiciel gratuit Sine qua non qui est plus commode qu'une table.

$\le -1.645 \leftrightarrow \frac{x-100}{15} \le -1.645 \leftrightarrow x \le 75.33$

Conclusion :

$p(x≤75.33)=0.05p(x\le 75.33)=0.05$

Vu que 69 < 75.33, un patient obtenant un score de 69 fait partie des 5% inférieurs de la distribution.

Je n'ai pas vérifié tes résultats numériques mais ta démarche pour les autres questions me parait correcte.

Ah ouiiii, ça donne totalement un sens, maintenant je comprend! Et j'ai trouvé le même résultat, bah ddisant, a=75,325.

Merciiiiiii Modératrice Mtschoon pour l'aide et pour le logiciel!

De rien !