3. Estimation ponctuelle - Proportion.

Estimation ponctuelle - Proportion.

  • P

    Bonsoir, encore une fois.
    Dans cette exercice, je n'arrive même pas à calculer la proportion ponctuelle à partir du tableau de donnés. Si quelqu'un peut m'aider s'il vous plait.

    Voici tout d'abord l'énoncé:
    Un sondage relatif à la consommation de cigarettes est effectué auprès de 100 personnes d'une ville donnée. L'échantillon est supposé représentatif de l'ensemble de la population de la ville. Les résultats du sondage sont les suivants:

    Nombre de paquets de cigarettes fumées par jour -> Nombre de personnes qui fument
    xi -> ni
    0 -> 2
    1 -> 34
    2 -> 40
    3 -> 13
    4 -> 8
    5 -> 3

    Donner une estimation ponctuelle de la proportion des personnes qui fument.
    J'ai besoin de calculer la valeur exacte de la proportion ponctuelle pour que l'intervalle de confiance relatif à elle soit correcte.

    Merci pour l'aide.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Je ne connais guère les termes employés en statistique, mais parler de "la valeur exacte de la proportion ponctuelle", pour moi, ce n'est pas clair...

    L'énoncé te parle del'estimation ponctuelle f de la proportion des personnes qui fument.

    Dans l'échantillon proposé, sur 100 personnes, il y en a 98 qui fument , donc :

    f=98100=0.98f=\frac{98}{100}=0.98f=10098​=0.98

    P 1 réponse
  • P

    Ah d'accord, merciiiii.

    J'aimerai bien savoir si mes réponses sont correctes, s'il vous plait, juste la méthode.

    Voici les questions: (c'est la suite de l'exercice)

    1-Donner une estimation de la proportion de personnes qui fument dans la population avec un niveau de confiance 95%, et en déduire une estimation du nombre de fumeurs pour une ville de 20.000 habitants.
    2-Donner une estimation de la consommation moyenne de cigarette au seuil de confiance de 5%.
    3-Quel doit être l'effectif de l'échantillon choisi pour estimer a 5% près, avec un niveau de confiance de 95% la proportion des personnes qui fument.

    Voici mes réponses:

    1-p′∼n(f;f(1−f)n)p'\sim n(f;\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}})p′∼n(f;nf(1−f)​​) tq f=∑xi∑ni=0,15f=\frac{\sum{xi}}{\sum{ni}}=0,15f=∑ni∑xi​=0,15.

    Donc ic(p′)=[f−zf(1−f)n;f+zf(1−f)n]ic(p')=[f-z\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}};f+z\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}]ic(p′)=[f−znf(1−f)​​;f+znf(1−f)​​]
    Pour α=5% on a z=1,96.

    Je trouve à la fin:Ic(p')=[0,08;0,22]
    Donc Ic(p')=[8%;22%] pour 100 habitants.
    D'ou Ic(p')=[1600;4400] pour 20.000 habitants
    (J'ai utilisé la règle de trois pour chaque borne de l'intervalle)

    2-m′∼n(m;sn−1))m'\sim n(m;\frac{s}{\sqrt{n-1)}})m′∼n(m;n−1)​s​)

    m=∑ni×xi∑nim=\frac{\sum{ni\times xi}}{\sum{ni}}m=∑ni∑ni×xi​
    m=200/100=2

    Pour s=E(x²)-E(x)²;
    s=∑xi2×ni∑ni−(∑xi×ni∑ni)2s=\sqrt{\frac{\sum{xi^{2}\times ni}}{\sum{ni}}-\left(\frac{\sum{xi\times ni}}{\sum{ni}} \right)^{2}}s=∑ni∑xi2×ni​−(∑ni∑xi×ni​)2​
    je trouve que s=1,0677

    Donc ic(m′)=[m−zsn−1;m+zsn−1]ic(m')=[m-z\frac{s}{\sqrt{n-1}};m+z\frac{s}{\sqrt{n-1}}]ic(m′)=[m−zn−1​s​;m+zn−1​s​]
    je trouve à la fin Ic(m')=[1,7897; 2,2103]

    3-Je ne suis pas sur, mais je pense qu'il faut trouver n tq Δp/p=5% (la précision de l'estimation)
    δpp=zf(1−f)nf\frac{\delta p}{p}=\frac{z\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}}{f}pδp​=fznf(1−f)​​​
    J'aimerai bien savoir si c'est juste.

    C'est tout. Merci d'avance.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour Pinpon,

    J'ai modifié ma première réponse car, croyant que l'énoncé donné était entier, j'ai mal interprété la question (pourtant fort claire !)

    donc f=0.98

    1. La méthode est bonne.

    Avec f=0.98 et z=1.96
    Ic(p')≈[0.95,1] pour 100 personnes (vérifie)
    Ic(p')≈[19000,20000] pour 20000 personnes (vérifie)

    1. La méthode est bonne (je n'ai pas fait les calculs)

    2. On doit chercher la taille minimale de l’échantillon pour que la longueur de l’intervalle de confiance à 0.95% soit inférieur ou égal à 0.05

    2zf(1−f)n≤0.052z\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\le 0.052znf(1−f)​​≤0.05

    avec z=1.96 et f=0,98 , on doit trouver n≥121n \ge 121n≥121 (vérifie, j'ai fait vite)

    La taille minimale est ainsi de 121 personnes

    P 1 réponse
  • P

    Aaaaah, oh mon dieu! Je ne peux rien dire à propos de f car ce n'est pas juste fort claire, mais très forts claire... !

    Donc pour 3. C'est inférieur ou égale, d'accord.

    Juste une dérnière question. Ce n'est pas une question de cet exercice mais si on suppose la situation suivante: une nouvelle étude menées par un bureau d'étude confirme la baisse des fumeurs. Son nouveau taux est de 9%, determiner au risque d'erreur de 1%, le pourcentage des fumeurs d'un échantillon de taille.n=100 a partir de laquelle cette hypothèse sera rejeté?

    Je ne sais pas si je dois calculer un intervalle de confiance, ou bien effectuer un teste d'hypothèse ou.encore calculer juste la probabilité. Dans le derniers cas ne dirai que l'hypothèse sera rejetée si P(p'>a)=99% si.on trouve que a>9%.... Mais je ne suis pas sur...

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Désolée, mais je n'ai aucune pratique sur les tests d'hypothèse.

    Je te mets un lien à consulter si besoin :

    http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/cours/stats/chap7/c7p2/c7p2.html#Anchor-54950

    P 1 réponse
  • P

    Je voulais juste savoir avec quelle méthode travailler.

    Un grand merci pour l'aide, ça m'a comme toujours été très utile, merciiiii !

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