Démonstration d'une propriété par récurrence



  • bonjour,

    question :

    Soit n dans N* et P(n) la propriété : 1+2+...+n=18\frac{1}{8}(2n+1)²

    Montrer que si P(n) est vraie alors P(n+1) l'est aussi

    merci de votre aide


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Bizarre la formule écrite...

    1+2+...+n=n(n+1)21+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

    ( c'est une formule usuelle )



  • non l'énoncé est bien formulé ainsi


  • Modérateurs

    J'ignore le contexte de ta question...

    Comme je te l'ai déjà dit, P(n) est fausse.

    Mais si la question consiste àsupposer P(n) vraie et prouver alors que P(n+1) est vraie : ça, c'est simple, il suffit de compter.

    1+2+...+n+(n+1)=18(2n+1)2+n+1=...=12n2+32n+921+2+...+n+(n+1)=\frac{1}{8}(2n+1)^2+n+1=...=\frac{1}{2}n^2+\frac{3}{2}n+\frac{9}{2}

    18(2(n+1)+1)2=18(2n+3)2=...=12n2+32n+92\frac{1}{8}(2(n+1)+1)^2=\frac{1}{8}(2n+3)^2=...=\frac{1}{2}n^2+\frac{3}{2}n+\frac{9}{2}

    Donc P(n+1) est alors vraie.

    *BILAN (qui n'est peut-être pas demandé) :

    l'hérédité est exacte maisl'initialisation est fausse : 1≠9/8 (donc la propriété est fausse)*


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