Prouver par l'absurde

bonsoir,

Prouver par l'absurde:

Soit f: R->R une fonction réelle de variable réelle. Si f est strictement croissante alors elle est injective.

Merci

Bonjour,

Idée : tu supposes que f n'est pas injective et tu en déduis que f ne peux pas être strictement croissante , d'où contradiction avec l'hypothèse de l'énoncé.

f non injective :
il existe deux réels $x_1$ et $x_2$ distincts tels que $f (x$ _1 $f(x_2$ ) donc ....

x1=x2

F n'est pas injective, absurde

on ne comprend pas ton raisonnement.

J'explicite mieux le principe

Pour démontrer une propriété par l'absurde,on montre que sa négation conduit à une contradiction (c'est-à-dire une absurdité).

F est injective

? ? ?

je recommence :

Il faut que tu justifies
pourquoi, lorsque f n'est pas injective, f ne peut pas être strictement croissante .

Car elle va être decroissante

ah bon ? alors, justifie-le ... car en mathématique, on doit justifier tout ce que l'on affirme .

si x1 < x2 alors f(x1) > f(x2)

Mais la tu me dit x1=x2 donc ce n'est pas décroissant

Tu es un peu sur l'idée, mais seulement un peu...

(le fait qu'une fonction n'est pas strictement croissante ne veut pas dire qu'elle est décroissante...)

D'abord, j'espère que tu fais la distinction entre strictement croissant (ou strictement décroissant) et croissant (ou décroissant). Regarde un cours.

Piste,

Je reprends ma première réponse, en la complétant.

Si f n'est pas injective, il existe deux réels $x_1$ et $x_2$ distincts tels que $\fbox{f(x_1)=f(x_2)}$
alors
f ne peut pas être strictement croissante.

En effet, pour f strictement croissante :
$x1<x2→f(x1)<f(x2)x_1 \lt x_2 \rightarrow f(x_1) \lt f(x_2)$
$x1>x2→f(x1)>f(x2)x_1 \gt x_2 \rightarrow f(x_1) \gt f(x_2)$
Donc nécessairement
$x_1 \ne x_2 \rightarrow \fbox{f(x_1) \ne f(x_2)}$

Réfléchis à tout ça tranquillement.

Remarque : il aurait fallu faire le même type de raisonnement, si l'énoncé avait demandé :

*Prouver par l'absurde:

Soit f: R->R une fonction réelle de variable réelle.
Si f est strictement décroissante alors elle est injective.*

d'accord je vais essayer de comprendre, merci encore de ton aide.

Bonne réflexion.