séries de fonctions

Bonjour,
Je beug sur quelques exos d'application:

A) On pose pour n≥1, la fonction fn de R dans R qui à x associe cos(nx)/(n^2). Montrer que ∑fn converge sur R et définit une fonction continue.

Le domaine de définition de fn est R sa dérivée est fn'(x)=(-(n^2)sin(nx)-2cos(nx))/(n^3) le domaine de définition de fn'(x) est R aussi donc elle est continue.
je ne sais pas comment montrer que ∑fn est convergente..

B) Pour tout entier n≥1 et tout réel x≥0 on pose fn(x)=x/(n(n+x)). Montrer que la série ∑fn définit une fonction dérivable sur ]0;+oo[
je ne sais pas non plus comment faire pour celle la...

Merci d'avance

Bonjour,

Quelques idées,

Il me semble qu'avec les critères de comparaison et la série de Reimann, tu peux y arriver.

A) $∣cos⁡(nx)∣n2≤1n2\frac{|\cos(nx)|}{n^2}\le \frac{1}{n^2}$

$\bigsum \frac{1}{n^2}$ est une série de Reimann convergente

Donc

$\bigsum \frac{|\cos(nx)|}{n^2}$ est convergente

Donc

$\bigsum \frac{\cos(nx)}{n^2}$ est absolument convergente donc convergente

(Pour la continuité, regarde peut-être ton cours; je ne suis pas sûre que tu sois obligée de passer par la dérivabilité pour justifier la continuité)

B) $f′(x)=1(n+x)2f'(x)=\frac{1}{(n+x)^2}$

Pour x ≥ 0, $1(n+x)2≤1n2\frac{1}{(n+x)^2}\le \frac{1}{n^2}$

Même idée que précédemment.

donc je dis que ∑1/(n^2)) est cv (Riemann) d'ou ∑1/(n+x)^2 cv
et de la je peux dire que chaque terme etant derivable et que ∑f'(x) etant convergente alors ∑fn(x) est une fonction dérivable ?

c'est l'idée mais analyse les conditions de près (théorème relatif à la dérivation - regarde ton cours)
Eventuellement, consulte ici :

http://uel.unisciel.fr/mathematiques/suites_fonctions/suites_fonctions_ch02/co/apprendre_ch2_07.html

il me manque donc la condition pour un x fixé on a ∑f(x0) convergente

Consulte ton cours pour t'assurer que la démarche est bien la même que celle du lien que je t'ai donné.

Si c'est le cas, tu peux par exemple prendre $x_0$ =1

$fn(1)=1n(n+1)=1n2+nf_n(1)=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n^2+n}$

$1n2+n≤1n2\frac{1}{n^2+n}\le \frac{1}{n^2}$

donc.......