convergence de série



  • Bonjour:

    Je beug dans un énonce:
    Pour tout entier n≥1 et tout réel x, on pose fn(x)=ln(1+(x2)/n2). Montrer que la série ∑fn converge normalement sur tout segment [-a;a] (a<0) et définit sur R une fonction continue et paire.
    Pour quelle soit continue on peut calculer sa dérivé et regarder le domaine de définition de la dérivé fn'(x)=2x/(n2+x2) le domaine de définition etant R alors f est bien continue sur R et fn(-x)=fn(x) d'ou f est paire
    pour la convergence j'ai pensé écrire fn(x)= ln((x2/n2)(1+n2/x2)) apres faire un Dl mais je ne vois pas ou cela va me mener..
    merci


  • Modérateurs

    Re-bonjour,

    Si j'ai bien lu, tu as voulu écrire :

    fn(x)=ln(1+x2n2)f_n(x)=ln(1+\frac{x^2}{n^2})

    Quelques pistes possibles,

    Tu dois travailler sur [-a,a] ( je suppose que tu as voulu écrire a > 0)

    (\bigsumfn)(\bigsum f_n) est une série à termes positifs donc inutile de prendre la valeur absolue de fnf_n(x)

    Pour tout x de [-a,a],

    fn(x)x2n2a2n2f_n(x) \le \frac{x^2}{n^2}\le \frac{a^2}{n^2}

    Soit αn=a2n2\alpha_n=\frac{a^2}{n^2}

    Tu peux prouver que (\bigsumαn)( \bigsum\alpha_n) converge.

    Par théorème (regarde si cela fait partie de ton cours), vu que la série numérique (\bigsumαn)(\bigsum \alpha_n) converge, la série (\bigsumfn)(\bigsum f_n) converge normalement.

    Pour la continuité, ce n'est pas la peine de passer par la dérivabilité.

    fnf_n est continue sur [-a,a] ( tu le prouves facilement)

    Une série normalement convergente converge uniformément, donc (\bigsumfn)(\bigsum f_n) converge uniformément.

    (\bigsumfn)(\bigsum f_n) est une série de fonctions continuessur [-a,a].

    Vu qu'elle converge uniformément sur [-a,a], par théorème, la fonction somme est continue sur [-a,a]

    *Vérifie tout cela en approfondissant ton cours . *


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