convergence de série

[mathos92340]

Bonjour:

Je beug dans un énonce:
Pour tout entier n≥1 et tout réel x, on pose fn(x)=ln(1+(x2)/n2). Montrer que la série ∑fn converge normalement sur tout segment [-a;a] (a<0) et définit sur R une fonction continue et paire.
Pour quelle soit continue on peut calculer sa dérivé et regarder le domaine de définition de la dérivé fn'(x)=2x/(n2+x2) le domaine de définition etant R alors f est bien continue sur R et fn(-x)=fn(x) d'ou f est paire
pour la convergence j'ai pensé écrire fn(x)= ln((x2/n2)(1+n2/x2)) apres faire un Dl mais je ne vois pas ou cela va me mener..
merci

[mtschoon]

Re-bonjour,

Si j'ai bien lu, tu as voulu écrire :

$f_n(x)=ln(1+\frac{x^2}{n^2})$

Quelques pistes possibles,

Tu dois travailler sur [-a,a] ( je suppose que tu as voulu écrire a > 0)

$(\bigsum f_n)$ est une série à termes positifs donc inutile de prendre la valeur absolue de $f_n$(x)

Pour tout x de [-a,a],

$f_n(x)\le \frac{x^2}{n^2}\le \frac{a^2}{n^2}$

Soit ${\alpha }_n=\frac{a^2}{n^2}$

Tu peux prouver que $( \bigsum\alpha_n)$ converge.

Par théorème (regarde si cela fait partie de ton cours), vu que la série numérique $(\bigsum \alpha_n)$ converge, la série $(\bigsum f_n)$ converge normalement.

Pour la continuité, ce n'est pas la peine de passer par la dérivabilité.

$f_n$ est continue sur [-a,a] ( tu le prouves facilement)

Une série normalement convergente converge uniformément, donc $(\bigsum f_n)$ converge uniformément.

$(\bigsum f_n)$ est une série de fonctions continuessur [-a,a].

Vu qu'elle converge uniformément sur [-a,a], par théorème, la fonction somme est continue sur [-a,a]

*Vérifie tout cela en approfondissant ton cours . *