Problème : propriété de la somme des diviseurs d'un entier naturel



  • Bonjour !

    Voilà, je dois démontrer la propriété suivante qui, j'avoue, me pose problème...
    (Le problème est à propos des nombres parfaits)

    On note σ(n)\sigma(n) la somme des diviseurs > 0 de nn (entier naturel).
    Soient a,ba , b deux entiers naturels non nuls tels que pgcd(a,b)=1pgcd(a,b)=1 .

    Montrer que ∀kk entier naturel,k, kdiv(ab)div(ab) \leftrightarrow ∃!(u,v)(u,v)div(a)div(b):k=uvdiv(a)*div(b) : k=uv

    Voilà j'ai tenté des décompositions en facteurs premiers, mais je tourne en rond et je retombe sur des choses évidentes...

    Bref, si vous avez ne serait-ce qu'une idée pour démarrer, je veux la veux bien ! 🙂

    Merci

    ps: désolé pour ma maîtrise du LaTeX plutôt médiocre...


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Une idée à explorer.

    Tu peux raisonner avec les décompositions en facteurs premiers

    $\text{a=p_1^\alpha_1 \times p_2^\alpha_2 \times...\times p_r^\alpha_r$

    $\text{b=q_1^\beta_1 \times q_2^\beta_2 \times.....\times q_s^\beta_s$

    Vu que PGCD(a,b)=1, a et b sont premiers entre eux .

    Dans les deux décompositions , les pip_i et les qjq_j sont distincts deux à deux.

    Soit k un diviseur quelconque du produit ab : k |ab

    Nécessairement, k s'obtient en multipliant un diviseur de a avec un diviseur de b :
    k=u×vk=u \times v avec u|a et v|b

    (Si cette affirmation te parait trop "légère", tu peux faire un raisonnement par l'absurde par la justifier)

    Bien sûr, il faut mettre cela en forme ("équivalence logique", ou "partie directe et partie réciproque" ) .

    Bon travail.



  • Merci pour votre réponse, j'ai réussi à trouver hier, au bout de plusieurs raisonnements qui reprenaient un peu les vôtres (l'unicité ne posait pas problème, et j'ai trouvé l'existence en posant u = pgcd(k,a), et v = pgcd(k,b) et en utilisant le théorème de Gauss et ses corollaires)


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