Montrer que x² n'est pas uniformément continue sur R

[BaB²]

Bonjour !

Je voulais montrer que $f:x\to x^2$ n'était pas uniformément continue sur ℜ, mais je suis pas sûr de ma démonstration...

Je l'ai fait par l'absurde, j'ai donc supposé f uniformément continue sur ℜ,
ie : $\forall\varepsilon > 0 , \exists\eta > 0 : \forall (x,y) \in (\mathbb{r})^{2}, \left|x-y \right|\leq \eta \rightarrow \left|f(x)-f(y) \right|\leq \varepsilon \$

En particulier, pour $\epsilon =1$ , $x=\frac{2-{\eta }^2}{2\eta }\in r$, $y=x+\eta \in r$

On a : $\left|x-y\right|=\eta \le \eta$

Donc : $\left|f(x)-f(y)\right|\le 1$

$\to \left|x^2-(x+\eta {)}^2\right|\le 1$

$\to \left|2\eta x+{\eta }^2\right|\le 1$

$\to \left|2-{\eta }^2+{\eta }^2\right|\le 1$

$\to 2\le 1$ : ABSURDE

J'ai l'impression d'un peu arnaquer quand je fais ça... Suis-je sur la bonne voie ?

[mtschoon]

Bonsoir,

Ton idée me semble bonne, mais ce n'est pas véritablement un raisonnement par l'absurde que tu proposes.

A ta place, je parlerais decontre-exemple, ce qui est tout à fait recevable.

Pour

$ϵ=1$
$x=\frac{2-{\eta }^2}{2\eta }$
$y=\frac{2+{\eta }^2}{2\eta }$

$|x-y|=\eta$ donc $|x-y|\le \eta$

or,

$|x^2-y^2|=2$

Définition de continuité uniforme non satisfaite.