Calculer la dérivée d'une fonction et dresser son tableau de variations

J'ai un exercice à faire sur les dérivations et je n'arrive pas à commencer. Pourriez vous m'aider s'il vous plait.

La fonction f est définie et dérivable sur IR par f(x) = x³ + ax² + bx + 1 où a et b sont deux réels fixés. La tangente à la courbe représentative de f au point A d'abscisse 2 a pour équation :
y= 13x -23

Exprimer f '(x) en fonction de a et b
Déterminer f(2) et f '(2)
En déduire les valeurs de a et b
Etablir le tableau de variations de f

Bonjour !(un petit "Bonjour" fait plaisir !)

Piste pour démarrer,

Avec les formules de ton cours :

$f'(x)=3x^2+2ax+b$

2)Le point A de contact de la tangente avec la courbe a pour abscisse 2

donc : f(2)=13(2)-23

$f (2) = 3$

Le nombre dérivé (pour x=2) est le coefficient directeur de la tangente :

$f^{'} (2) = 13$

3)En résolvant un système, tu dois obtenir les valeurs de a et b

Bonjour et merci pour votre aide. Je ne comprend pas exactement ce que vous avez fait pour la question 2.

Détails pour la question 2

Vu que A appartient à la tangente, j'ai remplacé x par 2 dans l'équation y=13x-23 de la tangente, pour obtenir f(2)

Vu que 13 est le coefficient directeur de la tangente, 13=f'(2) (regarde mon explication précédente)

Merci beaucoup j'ai compris à présent. Et pour le systeme je vois pas comment on pourrai le faire.

Pour le système, tu utilises les expressions de f(x) et f'(x) en mettant 2 à la place de x et les résultats du 2)

$\Leftrightarrow 2^3+a.2^2+b.2+1=3$

$\Leftrightarrow 3.2^2+2a.2+b=13$

Tu simplifies chaque équation et tu résous le système.

8+4a+2b+1=3
12+4a+b=13

4a+2b=3-9
4a+b=13-12

4a+2b=-6
4a+2b=1

Je sais pas quoi faire apres

Tes calculs sont bons.

Tu as dû faire une étourderie à la seconde, car c'est 4a+b=1

En retranchant membre à membre les deux équations, tu trouveras b ( tu dois trouverb=-7).

Ensuite, tu remplaces b par -7 dans une des deux équations ( même dans les deux pour vérifier) et tu trouveras a=2

je n'est pas compris quand vous avez parler de retranchez membre à membre.

4a+2b=-6
4a+b=1

En retranchant membre à membre :

(4a+2b)-(4a+b)=-6-1

Tu simplifies et tu trouveras b

(4a+2b)-(4a+b)=-6-1
(4a+2b)-4a-b=-6-1
b=-7

4a+b=1
4a-7=1
4a=8
a=8/4
a=2

C'est bon.

Piste pour la fin,

Tu sais que :

$f(x)=x^3+2x^2-7x+1$

$f'(x)=3x^2+4x-7$

f'(x) est un polynome du second degré dont il faut que tu connaisses le signe
( regarde ton cours)

Tu calcules Δ ( tu dois trouves Δ=100)

Tu en déduis x1 et x2 qui sont solutions de f'(x)=0

Tu en déduis le signe de f'(x) puis les variations de f.

Δ=b²-4ac
Δ=4²- 4 x 3 x (-7)
Δ=100

Δ>0 alors P a 2 racines

x1= (-4-√100)/6 ≈ -2.33

x2= (-4+√100)/6 = 9

$100=10\sqrt{100}=10$

Simplifie et recompte.

Tu dois trouver -7/3 et 1

x1= (-4-√100)/6
x1= (-4-10)/6
x1=-7/3

x2= (-4+√100)/6
x2= (-4+10)/6
x2= 1

f(x) -∞ -7/3 1 +∞

f'(x) + - +

C'est bon pour les signes de f'(x),mais fais attention pour la première ligne : il s'agit de x

Et pour compléter ton tableau de variation, avec le sens de variation de f, précise les valeurs de f(-7/3) et de f(1).

Comme le forum est calme, je t'indique le tableau de variation complet que tu dois trouver.

Peut-on n'as tu pas vu en cours les limites en -∞ et +∞ (?). Si c'est les cas, tu ne les mets pas.

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&-7/3&&1&&+\infty \ \hline {f'(x)}& &+&0&-&0&+& \ \hline \ &&& 419/27&&&&+\infty \ {f}&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\ &-\infty &&&&-3&\end{tabular}$