algèbre linéaire matrice

[linam]

Bonjour
Est ce que vous pouvez m'expliquer svp pourquoi les matrices symétriques de taille n*n sont de dimension n(n+1)/2 ? et les matrices antisymétrique de dimension n(n-1)/2 ???

Merci d'avance

[mtschoon]

Bonjour,

Je suppose que tu parles de la dimension de Sn (sev des matrices symétriques) et de celle de An (sev des matrices antisymétriques)

Pistes à expliciter

Toute matrice de Sn est caractérisée par
n coefficients sur la ligne 1
(n-1) coefficients sur la ligne 2
...
2 coefficients sur la ligne n-1
1 coefficient sur la ligne n

$1+2+...+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}$

$dim{s}_n=\frac{n(n+1)}{2}$

Toute matrice de An a des zéros sur la diagonale

Toute matrice de An est caractérisée par
(n-1) coefficients sur la ligne 1
(n-2) coefficients sur la ligne 2
...
1 coefficient sur la ligne n-1
0 coefficient sur la ligne n

$1+2+...+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}$

$dim{a}_n=\frac{(n-1)n}{2}$

Vérification :

An et Sn sont deux sev suppémentaires de Mn ( espace vectoriel des matrices carrées)

On doit avoir :

$dim{s}_n+dim{a}_n=dim{m}_n$

C'est bien le cas car :

$\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2}=n^2$