Groupe fini

Bonjour à tous.
Ce petit défi s'adresse à ceux qui ont étudié les groupes.
Il s'agit de trouver un groupe fini de n éléments, commutatif, et non isomorphe à Z / nZ.
Modérateurs s'abstenir sauf si aucune réponse d'ici quelque temps.
Bon courage.

Bonjour Mathtous,

Comme il n'y a pas de réponse, je me permets de proposer un exemple (mais seulement un exemple).

Le groupe additif Z/2Z x Z/2Z est commutatif d'ordre 4, et n'est pas isomorphe à Z/4Z

(différentes démonstrations sont sur le web)

Peut-on étendre cette propriété à Z/pZ x Z/qZ et Z/pqZ avec p et q non premiers entre eux ? ? ?
Je n'est absolument pas creusé...

J'espère que tu auras des réponses plus pertinentes !

Je pense que tu as approfondi tout cela et que tu écriras un bel article sur ton site (que nous consulterons avec plaisir ! ).

Hello Mathtous,

Je t'avoue que tu me poses une colle! Une petite explication?

Bonjour Locki
L'exemple proposé par Mtschoon est assez clair :
Z/2Z x Z/2Z et Z/4Z ont le même nombre d'éléments : 4.
Z/4Z est cyclique, mais pas Z/2Z x Z/2Z qui est une représentation du groupe de Klein.
Je précise : Chacun des 4 éléments de Z/2Z x Z/2Z vérifie x+x=0
Ce qui n'est pas le cas dans Z/4Z.
Ils ne peuvent donc pas être isomorphes.
Quant à sa question
Citation
Peut-on étendre cette propriété à Z/pZ x Z/qZ et Z/pqZ avec p et q non premiers entre eux ?la réponse est oui car l'application de Z/pqZ dans Z/pZ x Z/qZ (comme définie dans le théorème chinois) est certes un morphisme, mais n'est pas injective.

Bonjour Mtschoon,
Tout vient à point pour qui sait attendre ...
Mes excuses pour avoir été si long.
Quelques éléments de réponse dans cet article, loin d'être exhaustif :

Promenade autour du théorème chinois

Bonjour Mathtous et MERCI !

Je vais consulter.

Bonjour Mtschoon,
Attention, j'ai apporté quelques modifications, notamment à la démonstration du lemme : la condition nécessaire (que j'avais escamotée) s'avère indispensable pour la suite.
J'ai rajouté aussi quelques exemples.