Etude d'une suite définie par une intégrale

[Pauly]

Bonoir

On pose $i_n={\int }_0^{pi/4}ta{n}^n(x)dx.$

1. Montrer que $(i_n)$ est décroissante et convergente.

2. Calculer$i_0,i_1,i_2.$

3. Montrer que$i_{n+2}+i_n=\frac{1}{n+1}$. En déduire la limite de $(i_n)$ainsi qu’un équivalent de $i_n$.

4. En faisant le changement de variable u = tan(x), montrer que$i_n={\int }_0^1\frac{u^n}{1+u^2}$ du

5. Prouver que | $i_1-{\sum }_{k=0}^n{\int }_0^1(-1{)}^k{u}^{2k+1}du$ | <= $\frac{1}{2n+4}$. En déduire la valeur de \sum_{k=1}^n \frac{(- 1)^k}{k}

6. Prouver que | $i_2+{\sum }_{k=1}^n{\int }_0^1(-1{)}^k{u}^{2k}du$ | <=$\frac{1}{2n+3}$ . En déduire la valeur de ${\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{2k+1}.$

J'en suis à la 6, je sais qu'il faut utiliser l'inégalité de taylor lagrange et je pense utiliser f(x)= 1- arctan(x) sur [0,1] mais je ne vois pas comment trouver le sup de $f^{(n+1)}(x)$

[mtschoon]

Bonjour,

Il me semble que WilliamM007 et milton t'ont déjà bien aidé(e).