Ensemble vide

Bonjour/soir à tous,

D'abord bonne rentrée à tous/toutes !
Voici un petit exercice de logique sur le thème des ensembles.

Démontrer que l'ensemble vide est inclus dans n'importe quel ensemble.

Soit $a$ un ensemble quelconque et $x$ un élément de $a$ .
La proposition (∀ $x$ ): $x$ ∈∅ est fausse. Donc l’implication suivante :
(∀ $x$ ): $x∈x\in$ ∅ $→x∈a\rightarrow x\in a$ est vraie ?
Si oui, il s'en suit que : ∅ $⊂a\subset a$

Merci pour votre réponse

Bonjour,
Pour commencer, attention à des écritures du type (∀x) ... qui peuvent ne pas définir un ensemble : il vaut mieux toujours faire référence à un ensemble déjà existant : par exemple, (∀x∈E) ...
Le raisonnement qui suit me semble correct : je le résume : tout élément de l'ensemble vide est aussi élément de n'importe quel ensemble, ce qui donne l'inclusion souhaitée.

Plus directement, on doit démontrer que l'assertion (∀x∈∅) : x∈A est vraie.
Pour cela, on peut démontrer que sa négation, (∃ x∈∅) : x∉A est fausse, ce qui est évident puisqu'il n'existe aucun élément dans l'ensemble vide.

Si ça t'intéresse, tu peux lire : Réflexions sur la logique formelle.

Merci pour ta réponse.

De rien.