etude d'une suite

bonsoir, j'ai un petit exo a faire et j'ai du mal a le finir..

On considère la suite définie par: U0=1; U(n+1)= 1/2 ( Un + (2/Un))
on veut montrer par recurrence que pour tout n≥1, √2≤Un≤3/2

Initialiser cette recurrence.
Supposons que pour un certain n≥1, √2≤Un≤3/2, encadrer (2/Un)
En déduire un encadrement de U(n+1)
Que peut-on en conclure ? Que faire ?

alors j'ai reussi la 1, la 2 et la 3 je sais que par rapport a l'encadrement je peux rien conclure et donc je dois faire une etude de fonction mais je sais pas trop comment faire en fait ...

Bonsoir,

Piste,

$f(x)=12(x+2x)f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{2}{x})$

x joue le rôle de $U_n$

$u_{n+1}=f(u_n)$

Tu peux étudier la fonction pour x > 0 (et en tirer la conclusion sur l'image, par f, de l'intervalle [√2 , 3/2], ce qui te permettra de déduire le résultat souhaité).