Encadrement de valeurs absolues

Bonsoir, j'ai une serie de questionsa faire sur l'necadrement de valeurs absolues... j'ai bien reussi a faire les premieres questions mais la je suis passé a des questions un peu plus dures, et la faitgue ne m'aidant pas, je n'avance plus et je ne sais meme plus comment me lancer dans les equestions suivantes... Un petit coup de main serait le bienvenu ! merci d'avance !

Trouver le maximum et le minimum de valeur abs( x- y) sachant que x ∈ (1;3) et y(7/2;8)
L'aire d'un triangle est comprise entre 51cm² et 52cm². Sa base est comprise entre 7,9cm et 8,1cm. Encadrer la hauteur correspondante.
8.SOient x,y,z trois reels tels que 0<a≤x≤b, d≤y≤c<0 et 0
3x-4y; xy; (x-y)/2z
9.Montrer que pour tous (x,y) ∈R², x² + xy + y² ≥ 0
Soient x et y des reels, montrer que:
a) abs(x) +abs(y)≤ abs(x+y) +abs(x-y)
b) 1+ abs(xy-1) ≤ (1+abs(x-1)) (1+ abs(y-1))

Merci pour la patience que vous allez m'accorder !

? je sais que je n'ai pas mis la ou j'en suis mais c'est simplement que je ne sais pas par ou commencer ...

Bon je me suis lancé dans un truc pour le 7. Vous me direz si je suis loin du compte ou pas mdrr

On sait que l'aire d'1 triangle A= b x h / 2
Or ici on a 51 < A < 52 et 7,9< b < 8,1

Ainsi: 51<A<52
51<b x h / 2<52
102<b x h < 104
102/8,1<h<104/7,9
340/27 < h 1040/79

Ca donne quoi ?

Bonjour,

Je regarde ta réponse à la 7.

Effectivement

102/8,1 < h < 104/7,9

Si tu fais les calculs (mais j'ignore la précision à donner)

12.59 < h < 13.17

En ne m'étant qu'une seule décimale on peut écrire :

12.5 < h < 13.2

OK cool merci.
Ensuite pour la 8, je me suis lancé dans quelque chose mais ca m'avance pas trop peut pourriez vous me guider...

On sait que 0<a≤x≤b
d≤y≤c<0
0<e≤z≤f

Donc puisqu'on veut 3x-4y:

0<3a<3x<3b
0<3a-4y<3x-4y<3b-4y

0<-4c<-4y<-4d
0<3x-4c<3x-4y<3x-4d

Mais en fait ca m'avance pas trop...

Je te conseille de récrire clairement l'énoncé de la 8

Je lis
Citation
et 0 3x-4y; xy; (x-y)/2z

???

mtschoon
Je te conseille de récrire clairement l'énoncé de la 8

Je lis
Citation
et 0 3x-4y; xy; (x-y)/2z

???

Ah oui pardon...

SOient x,y, z trois réels tels que:
0<a≤x≤b
d≤y≤c<0
0<e≤z≤f
Donner un encadrement de:
3x-4y ; xy ; (x-y)/2z

Effectivement, pour le début de la 8, il semble que tu patines.

3a ≤ 3x ≤ 3b

4d ≤ 4y ≤ 4c

En multipliant par -1, on change le sens de l'inégalité

-4c ≤ -4y ≤ -4d

En ajoutant membre à membre la première et la troisième double-inégalité :

3a -4c≤ 3x -4y≤ 3b-4d

Remarque : tu peux supprimer une étape en multipliant directement d≤y≤c par -3 et en changeant le sens de l'inégalité vu que -3 est négatif ( mais c'est peut-être plus clair et décomposant l'étape)

Ok c'etait simple en fait je me suis compliqué la vie ... Par contre c'etait -4y ce qui ne change rien

Mais ensuite je ne peux pas faire la meme methode pour encadrer xy...

exact, ce sont des "4"

Pour xy, n'oublie pas que la double inégalité relative à x est entre nombres positifs et celle relative à y entre nombres négatifs.

C'est bizarre, tu ne poses pas de questions sur la 9) et la 10) qui sont plus astucieuses que les questions précédentes.

Comme le forum est calme, je mets des pistes ( ça pourra toujours servir...)

Pour la 9), il est possible de transformer avec des carrés.

$x2+xy+y2=x2+2xy+y2−xy=(x+y)2−xy=(x+y)2−14((x+y)2−(x−y)2)x^2+xy+y^2=x^2+2xy+y^2-xy=(x+y)^2-xy=(x+y)^2-\frac{1}{4}((x+y)^2-(x-y)^2)$

Au final:

$x2+xy+y2=34(x+y)2+14(x−y)2x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2$

D'où la réponse.

Pour la 10) Utiliser l'inégalité triangulaire.

10)a)

$\ 2y=y+x+y-x$

d'où

$∣2y∣≤∣x+y∣+∣x−y∣|2x|\le |x+y|+|x-y| \ |2y|\le |x+y|+|x-y|$

En ajoutant membre à membre et en divisant par 2, on obtient l'inégalité souhaitée.

10)b)

En développant le membre de droite

$(1 + ∣ x - 1 ∣) (1 + ∣ y - 1 ∣) = 1 + ∣ x - 1 ∣ + ∣ y - 1 ∣ + ∣ (x - 1) (y - 1) ∣$

d'où

$\ge 1+|(x-1)+(y+1)+(x-1)(y-1)|$

En développant et en simplifiant l'expression entre valeurs absolues :

$\ge |xy-1|$

CQFD.