Comment reconnaître une famille libre? Une famille génératrice? Une base?


  • A

    Bonjour,

    Je voudrais comprendre cette exercice :

    a) Soit R^3 la famille composée des vecteurs u=(1,2,0) et v=(1,1,1)
    La famille {u,v} est-elle libre ? La famille {u,v} engendre-t-elle R^3 ? La famille {u,v} est-elle une base de R^3.


  • mtschoon

    Bonjour

    Piste pour démarrer

    Regarde les définitions dans ton cours.

    Pour savoir si {u,v} est libre, tu cherches les réels λ<em>1<em>1<em>1</em>2</em>{2 }</em>2tels que :

    λ1_11(1,2,0)+λ2_22(1,1,1)=(0,0,0)

    Tu as un système à résoudre.

    Si tu obtiens λ1=0 et λ2=0, la famille {u,v} est libre (sinon, elle ne l'est pas)

    Pour savoir si {u,v} engendre R^3 , pour tout triplet de (x,y,z) de R^3, tu cherches les réels λ<em>1<em>1<em>1</em>2</em>{2 }</em>2tels que :

    λ1_11(1,2,0)+λ2_22(1,1,1)=(x,y,z)

    Tu as un système à résoudre.

    Si tu obtiens λ1et λ2 pour tout triplet (x,y,z), la famille {u,v} est génératrice (sinon, elle ne l'est pas)

    Donne tes réponses si tu as besoin d'une vérification.


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