Comment reconnaître une famille libre? Une famille génératrice? Une base?

[am9511]

Bonjour,

Je voudrais comprendre cette exercice :

a) Soit R^3 la famille composée des vecteurs u=(1,2,0) et v=(1,1,1)
La famille {u,v} est-elle libre ? La famille {u,v} engendre-t-elle R^3 ? La famille {u,v} est-elle une base de R^3.

[mtschoon]

Bonjour

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Pour savoir si {u,v} est libre, tu cherches les réels λ$<em>1$,λ$</em>2$tels que :

λ${}_1$(1,2,0)+λ${}_2$(1,1,1)=(0,0,0)

Tu as un système à résoudre.

Si tu obtiens λ1=0 et λ2=0, la famille {u,v} est libre (sinon, elle ne l'est pas)

Pour savoir si {u,v} engendre R^3 , pour tout triplet de (x,y,z) de R^3, tu cherches les réels λ$<em>1$,λ$</em>2$tels que :

λ${}_1$(1,2,0)+λ${}_2$(1,1,1)=(x,y,z)

Tu as un système à résoudre.

Si tu obtiens λ1et λ2 pour tout triplet (x,y,z), la famille {u,v} est génératrice (sinon, elle ne l'est pas)

Donne tes réponses si tu as besoin d'une vérification.