Problème Cosinus et sinus d'un nbre complexe

Bonjour,

Je vous envoie ce mail car j'arrive à la fin de mon problème de maths. En effet je bloque à la dernière question, voici l'énoncé du problème.

Soit z = x + iy, la forme algébrique d'un nbre complexe. On rappelle que $e$ ^z $= e$ ^x $e^{iy}$

Posons :

cos(z) = $e$ ^{iz} $e^{-iz}$ /2
sin(z) = $e$ ^{iz} $e^{-iz}$ /2i

Pour la première question il fallait montrer que
cos(z1+z2) = cos(z1)cos(z2)-sin(z1)sin(z2)
sin(z1+z2) = cos(z1)sin(z2)-sin(z1)cos(z2)
cos²(z1)+sin²(z2) = 1

ça c'est OK.

On définit également pour tout x réel le cosinus et le sinus hyperbolique par :

ch(x) = $e$ ^x $e^{-x}$ /2
sh(x) = $e$ ^x $e^{-x}$ /2

Il fallait sur cette question exprimer ch(x) et sh(x) en fonction d'un sinus et d'un cosinus complexe.
J'ai trouvé que cos(ix) = ch(x) et que -isin(ix) = sh(x)

Sur la 3ème question, il fallait exprimer les parties réelles et imaginaires de cos(z) et sin(z) en fonction de cos sin ch et sh de nombre réels.
Celle là OK.

Calculer $∣cos(z)∣\left|cos(z) \right|$ et $∣sin(z)∣\left|sin(z) \right|$
Je les faîte.

Cependant c'est la 5 qui bloque...
5. Exprimer le conjugué de cos(z) et de sin(z) en fonction de cos(conjugué de z) et sin(conjugué de z).

Merci de votre aide.
PS : Je n'ai pas réussi à trouver un moyen pour faire une barre horizontale symbolisant le conjugué... Voilà.

Bonjour,

La question 5) peut se trouver en utilisant les formules d'Euler (à condition que les propriétés utilisées soient dans ton cours... ce que j'ignore...)

Piste pour le cosinus

$cos⁡z‾=eiz+e−iz‾2=eiz‾+e−iz‾2\overline{\cos z}=\frac{\overline{e^{iz}+e^{-iz}}}{2}=\frac{\overline{e^{iz}}+\overline{e^{-iz}}}{2}$

$cos⁡z‾=eiz‾+e−iz‾2\overline{\cos z}=\frac{e^{\overline{iz}}+e^{\overline{-iz}}}{2}$

or,

$iz‾=−iz‾\overline{iz}=-i\overline z$

$−iz‾=iz‾\overline{-iz}=i\overline z$

donc :

$cosz‾=e−iz‾+eiz‾2\overline{cosz}=\frac{e^{-i\overline{z}}+e^{i\overline{z}}}{2}$

Vu que :

$cos⁡z‾=eiz‾+e−iz‾2\cos \overline{z} =\frac{e^{i\overline z}+e^{-i\overline z}}{2}$

Tu obtiens l'égalité.

Tu peux traiter avec la même méthode la propriété relative au conjugué du sinus

D'accord. J'vous remercie.

Je vais ouvrir un nouveau post concernant les limites de fonctions.

Bonjour, j'ai une question concernant la première partie et la deuxiéme partie, pourriez vous m'expliquer par ou et comment commencer. Merci.

Bonjour,

Piste pour la première.

$ei(z1+z2)=eiz1×eiz2e^{i(z_1+z_2)}=e^{iz_1}\times e^{iz_2}$

$cos(z1+z2)+isin(z1+z2)=(cosz1+isinz1)×(cosz2+isinz2)cos(z_1+z_2)+isin(z_1+z_2)=(cosz_1+isinz_1)\times (cosz_2+isinz_2)$

Tu développes le membre de droite

Ensuite, tu identifies les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles.

Piste pour la deuxième.

$chx=ex+e−x2chx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

$shx=ex−e−x2shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

$cosz=eiz+e−iz2cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

Tu poses z=ix et tu obtiens cos(ix)

$sinz=eiz−e−iz2isinz=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$

Tu poses z=ix et tu obtiens sin(ix)

Tu fais ensuite des comparaisons.

Bons calculs.

Bonjour je pense avoir réussi, en remplaçant z par ix j'ai trouvé pour:

cos(iz)=(exp(-x)+exp(x)) /2 = ch(x) et pour:

sin(ix)=(exp(-x)-exp(x))/2i équivalent à -isin(ix)=(exp(x)-exp(-x))/2 =sh(x)

voila en espérant que ma démarche et juste et juste une autre pourriez vous m'éclaircir de votre lumière pour la 3 et la 4 Merci.

Piste pour poursuivre,

Soit z=x+iy avec x∈ R et y ∈ R

$cosz=ei(x+iy)+e−i(x+iy)2=eix.e−y+e−ix.ey2cosz=\frac{e^{i(x+iy)}+e^{-i(x+iy)}}{2}=\frac{e^{ix}.e^{-y}+e^{-ix}.e^{y}}{2}$

$cosz=(cosx+isinx).e−y+(cos(−x)+isin(−x)).ey2cosz=\frac{(cosx+isinx).e^{-y}+(cos(-x)+isin(-x)).e^{y}}{2}$

$cosz=(cosx+isinx).e−y+(cosx−isinx).ey2cosz=\frac{(cosx+isinx).e^{-y}+(cosx-isinx).e^{y}}{2}$

Tu développes et tu isoles partie réelle et partie imaginaire.

Tu pourras faire apparaître ainsi cosx, sinx, chy et shy

Même principe pour sinz