Placement pourcentages

Bonjour,

Je bloque sur un exercice :

Jules a placé 20 000€ sur un compte rémunéré.
La première année, le taux de rémunération est de t% ( t nombre réel positif)
et les intérêts sont ajoutés au solde du compte.
La seconde année, le taux est majoré et devient (t+1)%
Sachant qu'à la fin de la seconde année, Jules à 20 807,50€
sur son compte, trouver la valeur de t.

Ma réponse :

20 000€+(t+1)%=20 807.50€
Donc
(t+1)= 20 807.50/20 000
(t+1)≈1.0404

t+1=1.0404
t=1.0404-1
t=0.0404*100
t=4.04

Donc 20 000*(1+4.04/100)=20 808

Je sais que 20 808 est proche de 20 807.5 mais je voudrais trouver le résultat juste.
A moins que je laisse 20 808 et je précise : arrondi à 0.1 près ??

Merci de m'éclaircir

Bonjour,

Ta méthode est à revoir.

Soit $C_0$ =20 000 capital placé

Au bout de le première année, ce capital devient :

$C1=C0+tC_1=C_0+t%C_0=C_0(1+t%)=20000(1+\frac{t}{100})=20000(\frac{100+t}{100})$

En simplifiant

$C_1=200(100+t)$

Au bout de le seconde année, ce capital devient :

$C2=C1+(t+1)C_2=C_1+(t+1)%C_1=C_1(1+\frac{t+1}{100})=C_1(\frac{101+t}{100})$

Dans $C_2$ , tu remplaces $C_{1 }$ par l'expression trouvée

Ensuite, tu dois résoudre l'équation :

$C_2=20 807,50$

Tu auras une équation du second degré à résoudre et tu conserveras la solution positive.

Je ne comprends pas la simplification.
Je suis obligé de simplifier ?

Donc à la fin je devrais résoudre / si j'ai bien compris /

20 000 ( 100+t / 100 ) * ( 101+t / 100 ) = 20 807,50

20000 / 100=200, mais tu n'es pas obligée de simplifier !

Oui, l'équation à résoudre est bien celle que tu as écrite.

D'accord merci

20 000 ( 100 + t / 100 ) * ( 101 + t / 100) = 20 807,5

20 000 ( 100 / 100 * 101 * 100 + 100 / 100 * t / 100 + t / 100 * 101 / 100 + t / 100 * t / 100 ) =20 807,5

20 000 ( 10 100 * 10 000 + 100 t / 10 000+101 t / 10 000 + t² / 10 000 ) =20 807,5

20 000 ( t² / 10 000 + 201 t / 10 000 + 1,01 ) = 20 807,5

20 000 t² / 10 000 +201 t / 10 000 = 20 807,5 – 1,01

20 000 t² / 10 000 + 201 t / 10 000 = 20 806,49

2 t² + 0,0201 t = 20 806,49

et là je bloque
...

Comme tu n'utilises pas le latex et que tu ne mets pas de parenthèses, on ne distingue pas les numérateurs et les dénominateurs...
La dernière équation écrite n'est pas bonne, mais je ne peux pas voir où est la faute...

Je te mets les grandes lignes

$20000(100+t100)(101+t100)=20807.5020000(\frac{100+t}{100})(\frac{101+t}{100})=20807.50$

$2 (100 + t) (101 + t) = 20807.50$

En développant le membre de gauche, tu dois trouver, sauf erreur :

$2t^2+402t+20200=20807.50$

Tu transposes 20807.50 dans le membre de gauche et tu obtiens :

$2t^2+402t-607,50=0$

Vérifie tout ça et ensuite, résous cette équation du second degré d'inconnue t ( tu dois avoir des formules dans ton cours)

A partir de :

20 000 ( (10 100/10 000) + (100t/10 000) + (101t/10 000) + (t²/10 000) = 20 807.5

suite:

20 000 ( 10 100 + 100t + 101t + t² / 10 000 )

= 20 000 (t²+201t+10 100 / 10 000)
= 20 000 * 1.01 + t²/10 000 + 201t/ 10 000

non ?

Si tu simplifies pas, on n'y comprend plus rien...

La valeur (positive) du taux est 1,5

Comment on sait que c'est 1.5 ?

= 20 200 + t²/10 000 + 201t / 10 000
?

Il faut arriver à l'équation du second degré (SIMPLIFIEE)
$2t^2+402t-607.50=0$

En résolvant avec les formules usuelles, tu dois trouver une solution négative (à exclure) et une solution positive 1.5 (à conserver).

Bons calculs.

je trouve:
2t²-402t-607.5

∇= ( -402)²-42(-607.5)
∇= 161604- (-4860)
∇=166464

x1= 402-√166464/ 2*2
x1= 402-408/4 = -1.5

x2=402+√166464/2*2
x2=402+408/4=202.5

x1= -1.5
x2= 202.5

Citation
2t²-402t-607.5

Il y a une erreur de signe et il n'y a pas d'égalité...

Tu dois trouver

2t²+402t-607.5=0

$t_1$ = 1.5
$t_2$ = -202.5

Ah oui !
Donc j'ai trouvé pareil que vous pour t1 et t2
Mais pour vérifier ?
Car quand on fait :

20 000 (1+(1,5+1)/100) = 20 500 et non 20 807.5

Ta façon de vérifier est bizarre...

La formule de base est celle-ci :

$20000(100+t100)(101+t100)=20807.5020000(\frac{100+t}{100})(\frac{101+t}{100})=20807.50$

Remplace t par 1.5 et compte :

$20000(100+1.5100)(101+1,5100)=2(101.5)(102,5)=20807.5020000(\frac{100+1.5}{100})(\frac{101+1,5}{100})=2(101.5)(102,5)=20807.50$

Ce qu'il fallait vérifier !