Topologie

Bonjour,

Je suis en licence 3 de maths et je révise un contrôle à partir dun ancien sujet. J'aimerai un peu d'aide pour me débloquer ou du moins comprendre comment faire.

Alors voilà l'exercice :

On considère l'ensemble X={a,b,c,d,e} muni de la topologie T={∅,X,{a},{a,b},{a,c,d},{a,b,c,d},{a,b,e}}.
Soit A={a,b,c,e}.

Trouver l'intérieur et l'adhérence de A dans (X,T).
Trouver la frontière de A.
Donner pour chaque point de X une base de voisinages contenant exactement un élément.
Je connais les définitions de l'intérieur et de l'adhérence, mais je ne vois pas comment les appliquer dans ce cas.

On dit qu'un point x∈X est adhérent à A⊂X si pour tout voisinage V de x dans X, on a V∩A≠∅
Ensuite, je sais que l'adhérent de A est un fermé de X. De plus, c'est le plus petit fermé de X contenant A.

On dit que x∈X appartient à l'intérieur de A, si A est un voisinage de x dans l'espace X.
Ensuite, l'intérieur de A est le plus grand ouvert de X inclus dans A.

Voilà, je connais mes définitions. Je pense aussi que je dois utilisé les propriétés que j'ai cité en plus des définitions mais je ne vois pas comment faire.

Pour la frontière, je vois comment faire mais j'ai besoin de l'adhérence.
Par contre, pour cette question, je ne sais pas du tout comment trouver une base de voisinage.

Bonjour,

J'imagine que les éléments indiqués dans T sont les ouverts pour T ?

L'intérieur de A est le plus grand ouvert contenu dans A : c'est donc ....

L'adhérence de A contient au moins A. Reste à savoir si d est ou non adhérent à A : rappelle-toi la définition d'un point adhérent à une partie.

Bonjour,

Je pense, du coup que l'intérieur de A est {a,b,e}
Pour ce qui est de l'adhérence, j'aurai tendance à dire que c'est X, car c'est le seul fermé qui contient A.

De ce fait, j'ai Fr(A)= $aˉ\bar{a}$ ∩ $acˉ\bar{a^c}$ =X∩{d}={d}

Ton intérieur de A me semble correct.
Par contre, j'ai un doute pour la frontière : l'adhérence du complémentaire de A contient évidemment d, mais aussi c. La frontière serait donc {c,d}.

Une autre façon de le vérifier est d'obtenir le frontière en retirant l'intérieur de A à l'adhérence de A : on trouve X{a,b,e} = {c,d}.

Pour la question 3, je n'ai pas les compétences suffisantes pour y répondre et ne peux donc pas t'aider.
Suis le conseil de Mtschoon : rends-toi sur le site Mathématiques.net. Au fait, qu'est devenu son message ?!

Merci, oui en recalculant la frontière, je me suis rendu compte de mon erreur.
Je vous remercie pour votre aide.

Je ne sais pas ce qu'est devenu son message, j'ai vu grâce à ma boîte mail qu'il avait répondu mais quand j'ai cliqué sur le lien je n'ai vu aucun message.

Je vais aller voir sur le site indiqué tout de même.
Encore merci.

Heureux si j'ai pu t'aider.
Pour la question 3, j'ai bien une petite idée, mais je ne suis pas sûr du tout, aussi il vaut mieux aller sur Les Mathématiques.net
Ce qui serait sympa, c'est que tu me tiennes au courant des réponses.
A+

Bonjour Mathtous et Emeraude_S ,

Effectivement, voyant que Mathtous avait répondu (après mon message), j'ai trouvé mon message inutile.
Je l'ai donc supprimé pour ne pas encombrer la discussion (mais au final, je l'encombre quand même...)

Effectivement, sur le site des mathématiques.net dédié exclusivement à l'enseignement supérieur, on trouve souvent des documents très intéressants.