Justifier que la composition d'un développement limité est possible



  • Bien le bonjour,

    J'ai un DM à rendre pour bientôt, quoi que cette semaine ou la semaine prochaine... Voici l'énoncé :

    Soient f et g des applications $C^∞$ (càd infiniment dérivables) de R dans R, impaires et équivalentes à x en 0.

    Partie I. Equivalent de f o g - g o f.

    1. Jusitifer l'existence de réels a1a_1, a2a_2, b1b_1, b2b_2, c1c_1 et c2c_2 tels que :

    f(x) = x + a1a_1x³ + bb_1x5x^5 + cc_1x7x^7 + o(x7o(x^7)
    g(x) = x + aa_2x3x^3 + bb_2x5x^5 + cc_2x7x^7 + o(x7o(x^7)

    Pour cette question, j'avais pensé à écrire cela :

    f admet un DL en 0, il peut donc s'écrire sous la forme d'un polynôme de degré 7 :

    f(x) = a0a_0 + a1a_1x + a2a_2x² + a3a_3x³ + .... + aa^7x7x^7 + o(x7o(x^7)

    Or la fonction est impaire, elle est donc composé uniquement de terme impaires :

    f(x) = a0a_0 + a1a_1x + a3a_3x³ + aa_5x5x^5 + aa_7x7x^7 + o(x7o(x_7)

    J'applique la même chose pour g, cependant je ne sais pas pourquoi le premier terme a0a_0 "disparaît" ainsi que la constance a1a_1 devant x...

    Merci.


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Si j'ai bien lu, les fonctions sontéquivalentes à x en 0, donc nécessairement a0a_0=0 et a1a_1=1 pour que f(x)=x+...



  • Merci de votre réponse.

    La question suivante est :

    Mq : fog(x)=x+(a1+a2)x3+(b1+b2+3a1a2)x5+(c1+c2+3a1b2+3a1a22+5b1a2)x7+o(x7)f o g(x) = x + (a_{1}+a_{2})x^{3} + (b_{1} + b_{2} + 3a_{1}a_{2})x^{5} + (c_{1} + c_{2} + 3a_{1}b_{2} + 3a_{1}a_{2}^{2} + 5b_{1}a_{2})x^{7} + o(x^{7})

    On veillera à jusitifer que la composition de DL est ici possible.

    Donc voici comment j'ai commencé :

    g(0) = 0 on peut composer les DL7DL_7(0) :

    f(g(x)) = ( x + aa_2x3x^3 + bb_2x5x^5 + cc_2x7x^7) + a1a_1(x + aa_2x3x^3 + bb_2x3x^3 + cc_2xx^7)3)^3 + b1b_1(.........)5)^5 + c1c_1(.......)7)^7 + o(x7o(x^7)

    Après je ne sais comment développer cela :

    a1(x+a2x3+b2x5+c2x7)3a_{1}(x + a_{2}x^{3} + b_{2}x^{5} + c_{2}x^{7})^3


  • Modérateurs

    Idée : Un développement limité permet d'avoir un équivalent en 0.

    Je regarde ce que tu as fait.

    J'utilise TES notations ( mais il faudra peut-être que tu les changes car il y a des ambiguïtés avec celle de l'énoncé)

    Comment as-tu prouvé que aa_2=a=a_4=a6=a_6=0. As-tu fait un calcul ?

    Si tu avais appliqué la définition de fonction impaire :

    Pour tout x réel f(-x)=-f(x), tu aurais trouvé que :
    aa_0=a=a_2=a=a_4=a6=a_6=0...

    Explication (à détailler) :
    En explicitant l'égalité f(-x)=-f(x), par identification pour tout x réel, tu trouves
    aa_0=a0=-a_0
    aa_1=a1=-a_1
    aa_2=a2=-a_2
    etc

    d'où
    2a02a_0=0
    2a12a_1=0
    2a22a_2=0
    etc

    d'où
    a0a_0=0
    a1a_1=1
    a2a_2=2
    etc

    Ainsi :

    f(x)=a1x+a3x3+a5x5+a7x7+o(x7)f(x)=a_1x+a_3x^3+a_5x^5+a_7x^7+o(x^7)

    Ensuite :

    Au voisinage de 0, a1x est équivalent de f
    Or, par hypothèse, au voisinage de 0, x est équivalent de f, donc, par identification : a1=1a_1=1



  • Merci bien pour votre réponse détaillée... J'ai réfléchi et je suis parvenu à trouver pourquoi.

    La question suivante je les posté sur mon message précédant votre message.


  • Modérateurs

    Merci de respecter l'ordre chronologique des questions et évite de modifier une question que tu as posée précédemment et à laquelle tu as eu une réponse...

    Si tu as besoin d'un calculateur pour tes développements, en voici un :

    http://fr.numberempire.com/expressioncalculator.php



  • Je ne sais comment développer... J'obtient quelque chose mais je ne comprends pas.

    x^21+3x^19+6x^17+10x^15+12x^13+12x^11+10x^9+6x^7+3x^5+x^3


  • Modérateurs

    Effectivement, ta réponse est bizarre...

    Les coefficients ont disparu et il faut tronquer les monômes de degrés supérieurs à 7 .

    (Avec le calculateur, choisis "Expression" )

    Pour le 1er calcul à effectuer, tu aurais dû trouver, sauf erreur :

    a1x3+3a1a2x5+3a1a22x7+3a1b2x7a_1x^3+3a_1a_2x^5+3a_1a_2^2x^7+3a_1b_2x^7

    En faisant les deux autres calculs utiles et en ajoutant, tu dois trouver le résultat de ton énoncé.



  • Mais je comprends pas comment peut-on développer

    a1(x + a2x^3 + b2x^3 + c2x7)^3


  • Modérateurs

    Pour le faire "à la main", c'est très "calculatoire " ! ! !

    Par exemple, tu poses

    a=x+a2x3=x(1+a2x2)a=x+a_2x^3=x(1+a_2x^2)
    b=b2x5+c2x7=x5(b2+c2x2)b=b_2x^5+c_2x^7=x^5(b_2+c_2x^2)

    Tu peux commencer par calculer séparément a2,b2,a3,b3a^2,b^2,a^3,b^3 avec les identités remarquables usuelles

    Ensuite, tu termines avec

    a1(a+b)3=a1(a3+3a2b+3ab2+b3)a_1(a+b)^3=a_1(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)

    Evidemment, tout n'a pas besoin d'être effectué vu qu'il faut uniquement les monômes de degré inférieurs ou égaux à 7.


  • Modérateurs

    Pour vérification, si tu as besoin, je t'indique les réponses aux deux derniers calculs

    b1(x+a2x3+b2x5+c2x7)5b_1(x+a_2x^3+b_2x^5+c_2x^7)^5

    Tu dois obtienir b1x5+5a2b1x7b_1x^5 +5a_2b_1x^7

    c1(x+a2x3+b2x5+c2x7)7c_1(x+a_2x^3+b_2x^5+c_2x^7)^7

    Tu dois obtienir c1x7c_1x^7



  • Bonjour,

    Merci beaucoup. Je vais essayer de le faire moi-même.

    La question d'après est

    1. En déduire sans calcul un DL7DL_7(0) de g o f puis déterminer un DL7DL_7(0) de f o g - g o f

    Pour cette question, j'ai trouvé que le DL de g o f était :

    g(f(x)) = x + (a1(a_1 + aa_2)x3)x^3 + (b(b_1+b2+b_2 + 3a3a_1aa_2)x5)x^5 + (c1(c_1 + c2c_2 + 3a3a_1b2b_2 + 3a3a_2aa_12^2 + 5b5b_1aa_2)x7)x^7 + o(x7o(x^7))

    Et en faisant la différence :

    f(g(x)) - g(f(x)) = 0

    1. Donner un équivalent de f o g - g o f en 0.

    On a une propriété dans le cours qui dit, je cite :
    "Le premier terme non nul du DLnDL_n de f (càd le terme de plus bas degré) est un équivalent en 0." Or si j'applique la propriété sur ce DL. Je trouve 0 pour l'équivalent...

    Est-ce normal? Ou alors j'me suis planté quelque part...


  • Modérateurs

    Non, cela n'est pas normal...

    Revois ce que tu as écrit pour g(f(x))



  • Ben quel peut-être le DL de g(f(x)) alors ? Sachant que g et f sont les mêmes fonctions il y a uniquement les coefficients qui change devant...


  • Modérateurs

    Il faut tenir compte des coefficients car ce ne sont pas les mêmes .



  • Je n'arrive pas à le voir.


  • Modérateurs

    Tu dois changer l'ordre des deux applications.

    gof(x)=x+(a2+a1)x3+(b2+b1+3a2a1)x5+(c2+c1+3a2b1+3a2a12+5b2a1)x7+o(x7)g o f (x)=x+(a_2+a_1)x^3+(b_2+b_1+3a_2a_1)x^5+(c_2+c_1+3a_2b_1+3a_2a_1^2+5b_2a_1)x^7+o(x^7)



  • Et donc lorsque l'on fait la différence il reste les termes avec x^7 en facteur si j'ai bien fait la différence?..


  • Modérateurs

    oui.


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