Justifier que la composition d'un développement limité est possible

Bien le bonjour,

J'ai un DM à rendre pour bientôt, quoi que cette semaine ou la semaine prochaine... Voici l'énoncé :

Soient f et g des applications $C^∞$ (càd infiniment dérivables) de R dans R, impaires et équivalentes à x en 0.

Partie I. Equivalent de f o g - g o f.

Jusitifer l'existence de réels $a_1$ , $a_2$ , $b_1$ , $b_2$ , $c_1$ et $c_2$ tels que :

f(x) = x + $a_1$ x³ + $b$ _1 $x^5$ + $c$ _1 $x^7$ + $o(x^7$ )
g(x) = x + $a$ _2 $x^3$ + $b$ _2 $x^5$ + $c$ _2 $x^7$ + $o(x^7$ )

Pour cette question, j'avais pensé à écrire cela :

f admet un DL en 0, il peut donc s'écrire sous la forme d'un polynôme de degré 7 :

f(x) = $a_0$ + $a_1$ x + $a_2$ x² + $a_3$ x³ + .... + $a$ ^7 $x^7$ + $o(x^7$ )

Or la fonction est impaire, elle est donc composé uniquement de terme impaires :

f(x) = $a_0$ + $a_1$ x + $a_3$ x³ + $a$ _5 $x^5$ + $a$ _7 $x^7$ + $o(x_7$ )

J'applique la même chose pour g, cependant je ne sais pas pourquoi le premier terme $a_0$ "disparaît" ainsi que la constance $a_1$ devant x...

Merci.

Bonsoir,

Si j'ai bien lu, les fonctions sontéquivalentes à x en 0, donc nécessairement $a_0$ =0 et $a_1$ =1 pour que f(x)=x+...

Merci de votre réponse.

La question suivante est :

Mq : $f o g(x) = x + (a_{1}+a_{2})x^{3} + (b_{1} + b_{2} + 3a_{1}a_{2})x^{5} + (c_{1} + c_{2} + 3a_{1}b_{2} + 3a_{1}a_{2}^{2} + 5b_{1}a_{2})x^{7} + o(x^{7})$

On veillera à jusitifer que la composition de DL est ici possible.

Donc voici comment j'ai commencé :

g(0) = 0 on peut composer les $DL_7$ (0) :

f(g(x)) = ( x + $a$ _2 $x^3$ + $b$ _2 $x^5$ + $c$ _2 $x^7$ ) + $a_1$ (x + $a$ _2 $x^3$ + $b$ _2 $x^3$ + $c$ _2 $x$ ^7 $^3$ + $b_1$ (......... $^5$ + $c_1$ (....... $^7$ + $o(x^7$ )

Après je ne sais comment développer cela :

$a_{1}(x + a_{2}x^{3} + b_{2}x^{5} + c_{2}x^{7})^3$

Idée : Un développement limité permet d'avoir un équivalent en 0.

Je regarde ce que tu as fait.

J'utilise TES notations ( mais il faudra peut-être que tu les changes car il y a des ambiguïtés avec celle de l'énoncé)

Comment as-tu prouvé que $a$ _2 $= a$ _4 $a_6$ =0. As-tu fait un calcul ?

Si tu avais appliqué la définition de fonction impaire :

Pour tout x réel f(-x)=-f(x), tu aurais trouvé que :
$a$ _0 $= a$ _2 $= a$ _4 $a_6$ =0...

Explication (à détailler) :
En explicitant l'égalité f(-x)=-f(x), par identification pour tout x réel, tu trouves
$a$ _0 $a_0$
$a$ _1 $a_1$
$a$ _2 $a_2$
etc

d'où
$2a_0$ =0
$2a_1$ =0
$2a_2$ =0
etc

d'où
$a_0$ =0
$a_1$ =1
$a_2$ =2
etc

Ainsi :

$f(x)=a_1x+a_3x^3+a_5x^5+a_7x^7+o(x^7)$

Ensuite :

Au voisinage de 0, a1x est équivalent de f
Or, par hypothèse, au voisinage de 0, x est équivalent de f, donc, par identification : $a_1=1$

Merci bien pour votre réponse détaillée... J'ai réfléchi et je suis parvenu à trouver pourquoi.

La question suivante je les posté sur mon message précédant votre message.

Merci de respecter l'ordre chronologique des questions et évite de modifier une question que tu as posée précédemment et à laquelle tu as eu une réponse...

Si tu as besoin d'un calculateur pour tes développements, en voici un :

http://fr.numberempire.com/expressioncalculator.php

Je ne sais comment développer... J'obtient quelque chose mais je ne comprends pas.

x^21+3x^19+6x^17+10x^15+12x^13+12x^11+10x^9+6x^7+3x^5+x^3

Effectivement, ta réponse est bizarre...

Les coefficients ont disparu et il faut tronquer les monômes de degrés supérieurs à 7 .

(Avec le calculateur, choisis "Expression" )

Pour le 1er calcul à effectuer, tu aurais dû trouver, sauf erreur :

$a_1x^3+3a_1a_2x^5+3a_1a_2^2x^7+3a_1b_2x^7$

En faisant les deux autres calculs utiles et en ajoutant, tu dois trouver le résultat de ton énoncé.

Mais je comprends pas comment peut-on développer

a1(x + a2x^3 + b2x^3 + c2x7)^3

Pour le faire "à la main", c'est très "calculatoire " ! ! !

Par exemple, tu poses

$a=x+a_2x^3=x(1+a_2x^2)$
$b=b_2x^5+c_2x^7=x^5(b_2+c_2x^2)$

Tu peux commencer par calculer séparément $a^2,b^2,a^3,b^3$ avec les identités remarquables usuelles

Ensuite, tu termines avec

$a_1(a+b)^3=a_1(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)$

Evidemment, tout n'a pas besoin d'être effectué vu qu'il faut uniquement les monômes de degré inférieurs ou égaux à 7.

Pour vérification, si tu as besoin, je t'indique les réponses aux deux derniers calculs

$b_1(x+a_2x^3+b_2x^5+c_2x^7)^5$

Tu dois obtienir $b_1x^5 +5a_2b_1x^7$

$c_1(x+a_2x^3+b_2x^5+c_2x^7)^7$

Tu dois obtienir $c_1x^7$

Bonjour,

Merci beaucoup. Je vais essayer de le faire moi-même.

La question d'après est

En déduire sans calcul un $DL_7$ (0) de g o f puis déterminer un $DL_7$ (0) de f o g - g o f

Pour cette question, j'ai trouvé que le DL de g o f était :

g(f(x)) = x + $a_1$ + $a$ _2 $x^3$ + $(b$ _1 $b_2$ + $3 a$ _1 $a$ _2 $x^5$ + $c_1$ + $c_2$ + $3 a$ _1 $b_2$ + $3 a$ _2 $a$ _1 $^2$ + $5 b$ _1 $a$ _2 $x^7$ + $o(x^7$ ))

Et en faisant la différence :

f(g(x)) - g(f(x)) = 0

Donner un équivalent de f o g - g o f en 0.

On a une propriété dans le cours qui dit, je cite :
"Le premier terme non nul du $DL_n$ de f (càd le terme de plus bas degré) est un équivalent en 0." Or si j'applique la propriété sur ce DL. Je trouve 0 pour l'équivalent...

Est-ce normal? Ou alors j'me suis planté quelque part...

Non, cela n'est pas normal...

Revois ce que tu as écrit pour g(f(x))

Ben quel peut-être le DL de g(f(x)) alors ? Sachant que g et f sont les mêmes fonctions il y a uniquement les coefficients qui change devant...

Il faut tenir compte des coefficients car ce ne sont pas les mêmes .

Je n'arrive pas à le voir.

Tu dois changer l'ordre des deux applications.

$g o f (x)=x+(a_2+a_1)x^3+(b_2+b_1+3a_2a_1)x^5+(c_2+c_1+3a_2b_1+3a_2a_1^2+5b_2a_1)x^7+o(x^7)$

Et donc lorsque l'on fait la différence il reste les termes avec x^7 en facteur si j'ai bien fait la différence?..

oui.