Problème, majoration de la dérivée

[Veitchii]

Bonsoir à tous !

Je suis en maths sup, et j'ai un devoir maison qui me pose problème... Voici le début de l'énoncé :

Soit f une application de C²([a,b], R)

1. Montrer qu'il existe $M_0$ et $M_2$ dans $R^{+}$, telle que :

∀x ∈ R, |f(x)|≤$M_0$ et |f''(x)|≤$M_2$

... Merci.

[mtschoon]

Bonsoir,

Piste,

Tu dois avoir dans ton cours un théorème qui te permet de répondre aux deux questions, peut-être appelé "théorème des bornes".

Lorsqu'une fonction est continue sur [a,b], elle est bornée et elle atteint ses bornes

f est continue sur [a,b]

Donc, il existe deux réels c et d tels que pour tout x de [a,b] :
f(c) ≤ f(x )≤ f(d)

En prenant les valeurs absolues :

Soit $M_0$ = Max(|f(c)|,f(d)|)

pour tout x de [a,b] : |f(x)| ≤ $M_0$

Vu que f a une dérivée seconde continue, tu peux appliquer le même raisonnement à f"

[Veitchii]

Bonsoir,

Oui, il s'agit du théorème de continuité sur un segment. Une fonction continue sur un segment est bornée et elle atteint ses bornes.

Ok, j'ai pigé merci !

2. Considérons l'application de $R$_+${}^{\ast }$ dans R définie par :

$g(h)=\frac{2.m_0}{h}+\frac{h.m_2}{2}$

Montrer que g admet un minimum global ; vous donnerez la valeur de la fonction en ce point.

Pour cette question, j'avais pensé à étudier la fonction... Ou alors utiliser un théorème sur les extrema locaux et m'adapter. Le théorème :

f dérivable sur ]a;b[
f admet un extremum en c ]a;b[
⇒ f'(c) = 0

Mais je sais pas si ça semble possible.

[mtschoon]

Tu première idée d'étudier les variations de g sur ]0,+∞[ me semble convenir.

Tu calcules g'(h) et son signe et tu en déduis la variations de g

Le minimum me semble être pour $h=2\sqrt{\frac{m_0}{m_2}}$ (vérifie )

[Veitchii]

OK, merci bien... J'approche de la fin.

3. Mq pour tout x de R, pour tout h de $R^{+}$n il existe c dans $R^{+}$ tel que :

$f^{\prime }(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f$

Sur cette question j'avais pensé à utiliser le TAF, théorème des accroissement finis qui dit que :

f dérivable sur ]a;b[
f continue sur a et b

Alors il existe c dans ]a;b[ tq
f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)

Or ici, je ne sais pas comment faire, auriez vous une idée ?

[mtschoon]

Merci de revoir ta formule écrite. Fautes de frappe ?

La formule donnée se termine par $-f$

C'est bizarre.

Que représente de " f" ?

Ce ne peut pas être la fonction, car ce serait écris "f(x)" .

Que représente ce "$R^{+}$n" ?

En plus, tu parles d'un "c" alors qu'il n'y a pas de c dans ta formule

Alors ? ? ?

[Veitchii]

Oui excusez moi, faute de frappe. Reprenons.

Soit f une application C²([a;b],R)

1. Mq il existe M0 et M2 dans R+, telle que :

∀x ∈ , |f(x)|≤M0 et |f"(x)|≤M2

ça c'est OK.

2. Considérons l'application de $R$^*${}_{+}$ dans R définie par

$g(h)=\frac{2.m0}{h}+\frac{m2.h}{2}$

Mq g admet un minimum global ; vous donnerez la valeur de la fonction en ce point.

ça c'est fait, on a trouvé $h=2\sqrt{\frac{m0}{m2}}$

Maintenant, voici l'énoncé de la question 3. :

3. Montrer que pour tout x de R, pour tout h de $R^{+}$, il existe c dans $R^{+}$ tel que :

$f^{\prime }(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f^{\prime \prime }(c)\frac{h}{2}$

Voilà l'intitulé exacte de la question 3.

Merci.

[mtschoon]

Une suggestion,

Appliquer la formule de "Taylor-Lagrange"

Je te mets un lien :

http://uel.unisciel.fr/mathematiques/analyse2/analyse2_ch02/co/apprendre_ch2_09.html

Elle te permet d'écrire :

$\text{f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(c) avec c\in ]x,x+h[$

En la transformant, tu devrais arriver à la formule souhaitée.

[Veitchii]

Bonsoir,

Merci pour votre implication mais j'ai beau essayé mais je n'arrive pas à tomber sur ce que je recherche...

[mtschoon]

Je saisis pas ta difficulté...

Si la formule de Taylor-Lagrange n'est pas dans ton cours, tu peux la prouver ; une preuve est dans le lien donné.

Ensuite, en partant de la formule de Taylor-Lagrange indiquée dans mon message précédant :

Tu isoles hf'(x) :

$h{f}^{\prime }(x)=f(x+h)-f(x)-\frac{h^2}{2}{f}^{\prime \prime }(c)$

Tu divises par h :

$f^{\prime }(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{h}{2}{f}^{\prime \prime }(c)$

[mtschoon]

Je détaille un peu (pour le cas où tu ne connaitrais pas la formule de Taylor-Lagrange).
Tu n'as pas besoin du cas général .
Tu fais seulement ce qui est nécessaire à ton exercice.

Piste,

Pour x ≤ t ≤ x+h,

tu poses : $\phi (t)=f(t)+(x+h-t)f^{\prime }(t)+\frac{1}{2}(x+h-t{)}^{2}a$

Tu va appliquer le théorème de Rolle ( tu le connais forcément) à la fonction φ sur [x,x+h]

$\phi (x+h)=f(x+h)\phi (x)=f(x)+h{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{2}{h}^{2}a$

(1/2)h² n'étant pas nul, tu peux donner à la constante réelle A la valeur telle que $\phi (x)=\phi (x+h)$

Avec le théorème de Rolle tu peux déduire qu'il existe un réel c de ]x,x+h[ tel que${\phi }^{\prime }(c)=0$

Tu calcules φ'(x) .
Après simplification, tu dois trouver : ${\phi }^{\prime }(x)=(x+h-t)(f^{\prime \prime }(t)-a)$
Tu déduis φ'(c) d'où :
φ'(c)=0 <=>$a=f^{\prime \prime }(c)$

Conclusion :

$\phi (x+h)=\phi (x)=f(x+h)=f(x)+h{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{2}{h}^2{f}^{\prime \prime }(c)$

En transformant$f(x+h)=f(x)+h{f}^{\prime }(x)+\frac{1}{2}{h}^2{f}^{\prime \prime }(c)$ comme indiqué dans ma précédente réponse, tu obtiens l'égalité demandée.