Exo matrice.

Bonsoir,

J'ai un exo à faire pour lundi, pourriez-vous me dire si c'est jute et m'aidez sur les questions qui me manquent ?

Voici l'énoncé :

On pose M = $0amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \ 0 &1 &1 \ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}$

N = $0amp;0amp;0)\begin{pmatrix} 0 &1 &0 \ 0 &0 &1 \ 0 &0 &0 \end{pmatrix}$

Énoncer la formule du binôme de Newton dans $M_n$ (R)

Si MN = NM, alors pour tout n ∈ N

(M + $N)^n$ = $(nk)mknn−k\sum_{k=0}^{n}{}\ {n \choose k} m^{k}n^{n-k}$

Calculer N² et $N^3$ . En déduire $N^n$ pour tout n de N.

N² = $0amp;0amp;0)\begin{pmatrix} 0 &0 &1 \ 0&0 &0 \ 0 &0 &0 \end{pmatrix}$

$N^3$ = 0

Pour la seconde partie, en déduire $N^n$ pour tout n de N, je n'ai pas trouvé...

Exprimer M en fonction de N et I. En déduire $M^n$ pour tout n de N.

J'ai trouvé la relation suivante :

M = N + I

Idem pour cette question, en déduire $M^n$ je bloque.

Calculer (I+N)(I-N+N²). En déduire $M^{-1}$ .

J'ai trouvé la matrice suivante :

$0amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 1&0 &0 \ 0&1 &0 \ 0 &0 &1 \end{pmatrix}$

J'ai pas trouvé $M^{-1}$ ...

Voilà... Donc il me manque les en déduire, si vous auriez des pistes je suis preneur.

Merci d'avance !

Bonjour,

Quelques pistes,

$n^3=\left(0\ 0\ 0\0 \ 0 \ 0 \0 \ 0 \ 0\right)$

Donc :

$n^4=n\times n^3=n\times \left(0\ 0\ 0\0 \ 0 \ 0 \0 \ 0 \ 0\right)=\left(0\ 0\ 0\0 \ 0 \ 0 \0 \ 0 \ 0\right)$

Par récurrence, pour n ≥ 3, $n^n=\left(0\ 0\ 0\0 \ 0 \ 0 \0 \ 0 \ 0\right)$

Pour la seconde partie, tu utilises les résultats précédents.

$m^n=(n+i)^n$

Tu utilises la formule du binôme et comme $N^n$ est nulle à partir de l'ordre 3, tu n'as que les 3 premiers termes du développement.

Tu sais que I+N=M

La formule que tu as trouvée peut s'écrire :

$m×(i−n+n2)=im\times (i-n+n^2)=i$

donc

$m^{-1}=...$

Bonjour,

OK j'ai compris.
Donc il faut que je calcule $N^1$ + N² + I en utilisant le binôme de Newton ?
$M^{-1}$ = $I^{-1}$ = I ?

Pour la 3), ce que tu écris est bizarre....Que sont devenus les coefficients binomiaux ?

$(n+i)^n={{n}\choose {0}}n^0i^n+{{n}\choose{1}}n^1i^{n-1}+{{{n}\choose{2}}n^2i^{n-2}={{n}\choose {0}}n^0+{{n}\choose{1}}n^+{{{n}\choose{2}}n^2=..............$

I n'y a rien à faire...sauf réfléchir que :

$m×m−1=im\times m^{-1}=i$

donc...........

OK j'vais essayer de développer en utilisant mon cours.

Pour la 4),

$M^{-1}$ = I/M = I*1/M

Je fais le produit de la matrice I par la matrice 1/M.

Pour la 3), tu ne dois pas avoir de problème

$n^0=i \ n^1=n$

Donc :

$mn=(n+i)n=i+nn+n(n−1)2n2=...m^n=(n+i)^n=i+nn+\frac{n(n-1)}{2}n^2=...$

Pour la 4), je pense que tu ne comprends pas bien ce que représente $M^{-1}$

Regarde ton cours.

I/M ne veut rien dire...

Par définition

$\times m^{-1}=i$

Or

$\times (i-n+n^2)=i$

Donc ..............

Pour la 3) j'ai trouvé :

$0amp;0amp;1)m^{n}=\begin{pmatrix} 1 &n &n(n-1)*\frac{1}{2} \ 0 &1 &n \ 0 &0 &1 \end{pmatrix}$

Pour la 4)

J'comprends pas trop pour la question 4.

J'ai trouvé que la relation qui m'était donné valait I. Ainsi, comme par définition on a M*M^-1 = I, M^-1 vaut I-N+N² ?

Cela me parait correct.

Bien sûr, tu peux expliciter $M^{-1}$

Mais M^-1 je les calculé qd j'ai calculé I-N+N² non?

Oui, vu que tu as déjà explicité I-N-N², tu n'as plus qu'à recopier l'expression trouvée.

$m^{-1}=\left(1\ -1\ 1\0\ \ 1\ -1\0\ \ 0\ \ 1\right)$

OK super, j'vous remercie.

De rien .

Bon dimanche !