série de fonctions



  • Bonjour,

    Je bloque sur cet exo:

    On considere la fonction:

    x-->exe^{-x}xkx^k/k! , k allant de 0 à n

    définie sur [0,1]

    1. Montrer que |f '(x)|≤1/n!

    En appliquant l'inégalité des accroissements finis, montrer que:|1/2Un - 1|≤1/n!

    Puis conclure quand à la limite de Un

    3)Montrer que e est un nombre irrationnel
    Merci d'avance!


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je regarde le début,

    Je suppose que f(x)=ex\bigsum0nxkk!f(x)=e^{-x}\bigsum _0^n \frac{x^k}{k!}

    en utilisant la dérivée d'un produit :

    f(x)=ex(1+x+x22!+...+xnn!)+ex(1+x+x22!+...+xn1(n1)!)f'(x)=-e^{-x}(1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!})+e^{-x}(1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!})

    En simplifiant, tu dois trouver, sauf erreur :

    f(x)=ex(xnn!)f'(x)=e^{-x}(-\frac{x^n}{n!})

    Pour x ∈ [0,1]

    f(x)=ex(xnn!)|f'(x)|=e^{-x}(\frac{x^n}{n!})

    0 < exe^{-x} ≤ 1

    0 ≤ xnx^n ≤ 1

    Donc :

    f(x)1n!|f'(x)| \le \frac{1}{n!}

    Ensuite, que vaut UnU_n ? ? ? je ne le vois pas écrit .



  • Un=1+1/1!+1/2!+....+1/n!
    Comment vous avez fait pour dériver la somme ∑x^k/k! ?


  • Modérateurs

    Si ça t'arrange, j'explicite un peu la dérivée de\bigsum0nxkk!\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!}

    \bigsum0nxkk!=1+x+x22!+x33!+...+xn1(n1)!+xnn!\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^n}{n!}

    La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.

    (\bigsum0nxkk!)=\bigsum0n(1+x+x22!+x33!+...+xn1(n1)!+xnn!)(\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!})'=\bigsum _0^n(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^n}{n!})'

    (\bigsum0nxkk!)=\bigsum0n(0+1+2x2!+3x23!+...+(n1)xn2(n1)!+nxn1n!)(\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!})'=\bigsum _0^n(0+1+\frac{2x}{2!}+\frac{3x^2}{3!}+...+\frac{(n-1)x^{n-2}}{(n-1)!}+\frac{nx^{n-1}}{n!})

    Tu simplifies (chaque factorielle a une simplification avec le numérateur
    car k!=(k1)!×kk!=(k-1)!\times k )

    (\bigsum0nxkk!)=\bigsum0n(1+x+x22!+x33!+...+xn2(n2)!+xn1(n1)!)(\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!})'=\bigsum _0^n(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-2}}{(n-2)!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!})

    Une remarque pour la conclusion de la 1)

    La formule que tu as écrite est fausse .
    Ce n'est pas 1/2 mais 1/e dans cette inégalité.

    Vu que f(x)1n!|f'(x)| \le \frac{1}{n!}, l'inégalité des accroissements finis sur [0,1] te permet d'écrire :

    f(1)f(0)1n!|f(1)-f(0)| \le \frac{1}{n!}

    Après calculs, tu obtiens :

    une11n!\fbox{|\frac{u_n}{e}-1| \le \frac{1}{n!}}

    Tu peux prouver aisément que la limite de (Un) est e

    limn+\bigsum0n1k!=e\fbox{\lim_{n\to +\infty}\bigsum_0^n \frac{1}{k!}=e}

    Tu peux écrire :

    \bigsum0+1k!=e\fbox{\bigsum_0^{+\infty}\frac{1}{k!}=e}



  • D'accord!
    Merci beaucoup pour votre aide!


  • Modérateurs

    De rien .

    Bon DM !


 

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