série de fonctions
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Mmagy dernière édition par
Bonjour,
Je bloque sur cet exo:
On considere la fonction:
x-->e−xe^{-x}e−x∑xkx^kxk/k! , k allant de 0 à n
définie sur [0,1]
- Montrer que |f '(x)|≤1/n!
En appliquant l'inégalité des accroissements finis, montrer que:|1/2Un - 1|≤1/n!
Puis conclure quand à la limite de Un
3)Montrer que e est un nombre irrationnel
Merci d'avance!
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Je regarde le début,
Je suppose que $f(x)=e^{-x}\bigsum _0^n \frac{x^k}{k!}$
en utilisant la dérivée d'un produit :
f′(x)=−e−x(1+x+x22!+...+xnn!)+e−x(1+x+x22!+...+xn−1(n−1)!)f'(x)=-e^{-x}(1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!})+e^{-x}(1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!})f′(x)=−e−x(1+x+2!x2+...+n!xn)+e−x(1+x+2!x2+...+(n−1)!xn−1)
En simplifiant, tu dois trouver, sauf erreur :
f′(x)=e−x(−xnn!)f'(x)=e^{-x}(-\frac{x^n}{n!})f′(x)=e−x(−n!xn)
Pour x ∈ [0,1]
∣f′(x)∣=e−x(xnn!)|f'(x)|=e^{-x}(\frac{x^n}{n!})∣f′(x)∣=e−x(n!xn)
0 < e−xe^{-x}e−x ≤ 1
0 ≤ xnx^nxn ≤ 1
Donc :
∣f′(x)∣≤1n!|f'(x)| \le \frac{1}{n!}∣f′(x)∣≤n!1
Ensuite, que vaut UnU_nUn ? ? ? je ne le vois pas écrit .
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Mmagy dernière édition par
Un=1+1/1!+1/2!+....+1/n!
Comment vous avez fait pour dériver la somme ∑x^k/k! ?
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mtschoon dernière édition par
Si ça t'arrange, j'explicite un peu la dérivée de$\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!}$
$\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^n}{n!}$
La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
$(\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!})'=\bigsum _0^n(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^n}{n!})'$
$(\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!})'=\bigsum _0^n(0+1+\frac{2x}{2!}+\frac{3x^2}{3!}+...+\frac{(n-1)x^{n-2}}{(n-1)!}+\frac{nx^{n-1}}{n!})$
Tu simplifies (chaque factorielle a une simplification avec le numérateur
car k!=(k−1)!×kk!=(k-1)!\times kk!=(k−1)!×k )$(\bigsum_0^n\frac{x_k}{k!})'=\bigsum _0^n(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n-2}}{(n-2)!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!})$
Une remarque pour la conclusion de la 1)
La formule que tu as écrite est fausse .
Ce n'est pas 1/2 mais 1/e dans cette inégalité.Vu que ∣f′(x)∣≤1n!|f'(x)| \le \frac{1}{n!}∣f′(x)∣≤n!1, l'inégalité des accroissements finis sur [0,1] te permet d'écrire :
∣f(1)−f(0)∣≤1n!|f(1)-f(0)| \le \frac{1}{n!}∣f(1)−f(0)∣≤n!1
Après calculs, tu obtiens :
$\fbox{|\frac{u_n}{e}-1| \le \frac{1}{n!}}$
Tu peux prouver aisément que la limite de (Un) est e
$\fbox{\lim_{n\to +\infty}\bigsum_0^n \frac{1}{k!}=e}$
Tu peux écrire :
$\fbox{\bigsum_0^{+\infty}\frac{1}{k!}=e}$
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Mmagy dernière édition par
D'accord!
Merci beaucoup pour votre aide!
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mtschoon dernière édition par
De rien .
Bon DM !