Récurence


  • A

    Bonsoir,

    je souhaite réaliser un raisonnement par récurence mais je bloque dans l’hérédité, voici l’énoncé et ce que j’ai fait :

    P(n)= ∑k=0n\sum_{k=0}^{n}{}k=0n $k2^k = (n-1)2^n^+^1 + 2$

    Initialisation :

    Montrons que P(0) est vrai ;
    0*2^0=-2+2
    0=0 donc p(0) est vrai

    Hérédité :

    Supposons que p(n) est vrai montrons que p(n+1) est vrai aussi :

    P(n+1) :
    k2^k = (n+1-1)2^n+1+1 + 2

    <=> $n * 2^n^+^2 + 2$

    <=> je bloque ici

    Merci de bien vouloir m'aider


  • mtschoon

    Bonsoir, ce que tu écris sur l'hérédité est bizarre.

    Piste,

    $\bigsum_{k=0}^{n+1}k2^k=\bigsum_{k=0}^{n}k2^k+(n+1)2^{n+1}=(n-1)2^{n+1}+2+(n+1)2^{n+1}$

    En regroupant les termes en 2n+12^{n+1}2n+1

    $\bigsum_{k=0}^{n+1}k2^k=(n-1+n+1)2^{n+1}+2$

    Tu termines en simplifiant et en transformant un peu et tu dois trouver :

    $\bigsum_{k=0}^{n+1}k2^k=n2^{n+2}+2$


  • A

    d'accord merci


  • mtschoon

    De rien !

    Bonne récurrence.


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