Récurence

[am9511]

Bonsoir,

je souhaite réaliser un raisonnement par récurence mais je bloque dans l’hérédité, voici l’énoncé et ce que j’ai fait :

P(n)= ${\sum }_{k=0}^n$ $k2^k = (n-1)2^n^+^1 + 2$

Initialisation :

Montrons que P(0) est vrai ;
0*2^0=-2+2
0=0 donc p(0) est vrai

Hérédité :

Supposons que p(n) est vrai montrons que p(n+1) est vrai aussi :

P(n+1) :
k2^k = (n+1-1)2^n+1+1 + 2

<=> $n * 2^n^+^2 + 2$

<=> je bloque ici

Merci de bien vouloir m'aider

[mtschoon]

Bonsoir, ce que tu écris sur l'hérédité est bizarre.

Piste,

$\bigsum_{k=0}^{n+1}k2^k=\bigsum_{k=0}^{n}k2^k+(n+1)2^{n+1}=(n-1)2^{n+1}+2+(n+1)2^{n+1}$

En regroupant les termes en $2^{n+1}$

$\bigsum_{k=0}^{n+1}k2^k=(n-1+n+1)2^{n+1}+2$

Tu termines en simplifiant et en transformant un peu et tu dois trouver :

$\bigsum_{k=0}^{n+1}k2^k=n2^{n+2}+2$

[am9511]

d'accord merci

[mtschoon]

De rien !

Bonne récurrence.