Analyse d'une fonction

Bonsoir,

Voici l'exercice où j'ai des difficultés :

Fonction f [0,+∞[ ->ℜ définie oar

f(x) =
$si , x>0 : \frac{e^2^x -1 }{x}$

si x=0 2

calculer lim_{x-->0^+}:

si x>0 la limite est +∞
si x=0 la limite est 2

Montrer que f est continue sur [0,+∞[

On sait que f est continue en a si f(x)=f(a), ici je sais pas comment montrer qu'elle est continue

Montrer qu'elle est dérivable sur ]0,+∞[

j'ai calculé la dérivée mais comment on montre qu'elle est dérivable ?
si x>0 f'(x)= 2xe^2x/x
si x=0 f'(x)=0

Etablir un tableau de variation

x : 0 +∞
f'(x): +
f(x): croissante

Merci de bien vouloir me corriger

Bonsoir,

Merci d'améliorer ton énoncé.

Pour x=0, je crois comprendre que f(x)=2

Pour x > 0:

$?f(x)=\frac{{e^2}^x-1}{x} \ ou \ f(x)=\frac{e^{2x}-1}{x}\ ?$

Désolé, c'est le deuxième

Quelques pistes,

Ta limite est fausse .

Regarde ton cours pour savoir ce que tu dois utiliser.

Pour X voisin de 0 !: $ex−1∼xe^x-1 \sim x$

$lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

Tu transformes un peu f(x) :

$f(x)=2(e2x−12x)f(x)=2(\frac{e^{2x}-1}{2x})$

Avec la propriété indiquée,en posant X=2x, tu dois trouver :

$lim⁡x→0+e2x−1x=2\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{2x}-1}{x}=2$

Ta définition des continuité est des plus bizarres...

Pour x > 0, f est continue car quotient de 2 fonctions usuelles continues (avec dénominateur non nul)

$f (0) = 2$

Avec la question 1, tu peux affirmer que :

$lim⁡x→0+f(x)=f(0)\lim_{x\to 0^+ }f(x)=f(0)$

Donc f est continue (à droite) en 0

Bilan :f est continue sur [0,+∞[

Tes réponses sont à revoir aussi.

Pour x > 0, f est dérivable car quotient de 2 fonctions usuelles dérivables (avec dénominateur non nul)

Ta dérivée est fausse.

Après calcul (dérivée d'un quotient) tu dois trouver :

$f′(x)=(2x−1)e2x+1x2f'(x)=\frac{(2x-1)e^{2x }+1}{x^2}$

j’ai pas compris la transformation, pourquoi 2 vient en facteur et pourquoi on trouve 2 ?
peux tu détailler comment tu as trouvé la dérivée car je ne comprend pas.
donc les bornes du tableau sont -∞ 1 2 +∞ ?
la fonction croissante sur -∞ +∞ d’après f’(x)

Merci

Quelques explications complémentaires,

Il y a une indétermination de type "0/0" qu'il faut lever.

Pour cela, en mettant 2 en facteur, le second facteur est $e2x−12x\frac{e^{2x}-1}{2x}$

Lorsque x tend vers 0, 2x tend vers 0, et PAR THEOREME (regarde ton cours), $e2x−12x\frac{e^{2x}-1}{2x}$ tens vers 1

(Dans mon explication précédente, j'ai posé 2x=X)

Pour la limite, vu que 2 est une constante et que $e2x−12x\frac{e^{2x}-1}{2x}$ tend vers 1 le produit tend vers $\ \times\ 1=2$

3)Pour le calcul de f'(x), c'est tout simple.

$u(x)=e^{2x}-1 \ donc\ u'(x)=2e^{2x} \ v(x)=x\ donc\ v'(x)=1$

$f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2$

Tu comptes et tu factorises au mieux.

Pour la 4), il faut que tu trouves avec rigueur le signe de f'(x) .

Pour x > 0, x² > 0 donc f'(x) est du signe de son numérateur $2x-1)e^{2x}+1$

Tu peux poser $g(x) = (2x-1)e^{2x}+1$

Tu calcules g'(x).
Tu étudies les variations de g pour x > 0
Tu pourras en déduire le signe de g(x) d'où celui de f'(x)

D'accord merci beaucoup

De rien .

Bon travail.