Analyse d'une fonction


  • A

    Bonsoir,

    Voici l'exercice où j'ai des difficultés :

    Fonction f [0,+∞[ ->ℜ définie oar

    f(x) =
    $si , x>0 : \frac{e^2^x -1 }{x}$

    si x=0 2

    1. calculer lim_{x-->0^+}:

    si x>0 la limite est +∞
    si x=0 la limite est 2

    1. Montrer que f est continue sur [0,+∞[

    On sait que f est continue en a si f(x)=f(a), ici je sais pas comment montrer qu'elle est continue

    1. Montrer qu'elle est dérivable sur ]0,+∞[

    j'ai calculé la dérivée mais comment on montre qu'elle est dérivable ?
    si x>0 f'(x)= 2xe^2x/x
    si x=0 f'(x)=0

    1. Etablir un tableau de variation

    x : 0 +∞
    f'(x): +
    f(x): croissante

    Merci de bien vouloir me corriger


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Merci d'améliorer ton énoncé.

    Pour x=0, je crois comprendre que f(x)=2

    Pour x > 0:

    f(x)=e2x−1x ou f(x)=e2x−1x ?f(x)=\frac{{e^2}^x-1}{x} \ ou \ f(x)=\frac{e^{2x}-1}{x}\ ?f(x)=xe2x1 ou f(x)=xe2x1 ?


  • A

    Désolé, c'est le deuxième


  • mtschoon

    Quelques pistes,

    1. Ta limite est fausse .

    Regarde ton cours pour savoir ce que tu dois utiliser.

    Pour X voisin de 0 !:ex−1∼xe^x-1 \sim xex1x

    lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1limx0xex1=1

    Tu transformes un peu f(x) :

    f(x)=2(e2x−12x)f(x)=2(\frac{e^{2x}-1}{2x})f(x)=2(2xe2x1)

    Avec la propriété indiquée,en posant X=2x, tu dois trouver :

    lim⁡x→0+e2x−1x=2\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{2x}-1}{x}=2limx0+xe2x1=2

    1. Ta définition des continuité est des plus bizarres...

    Pour x > 0, f est continue car quotient de 2 fonctions usuelles continues (avec dénominateur non nul)

    f(0)=2f(0)=2f(0)=2

    Avec la question 1, tu peux affirmer que :

    lim⁡x→0+f(x)=f(0)\lim_{x\to 0^+ }f(x)=f(0)limx0+f(x)=f(0)

    Donc f est continue (à droite) en 0

    Bilan :f est continue sur [0,+∞[

    1. Tes réponses sont à revoir aussi.

    Pour x > 0, f est dérivable car quotient de 2 fonctions usuelles dérivables (avec dénominateur non nul)

    Ta dérivée est fausse.

    Après calcul (dérivée d'un quotient) tu dois trouver :

    f′(x)=(2x−1)e2x+1x2f'(x)=\frac{(2x-1)e^{2x }+1}{x^2}f(x)=x2(2x1)e2x+1


  • A

    1. j’ai pas compris la transformation, pourquoi 2 vient en facteur et pourquoi on trouve 2 ?

    2. peux tu détailler comment tu as trouvé la dérivée car je ne comprend pas.

    3. donc les bornes du tableau sont -∞ 1 2 +∞ ?
      la fonction croissante sur -∞ +∞ d’après f’(x)

    Merci


  • mtschoon

    Quelques explications complémentaires,

    1. Il y a une indétermination de type "0/0" qu'il faut lever.

    Pour cela, en mettant 2 en facteur, le second facteur est e2x−12x\frac{e^{2x}-1}{2x}2xe2x1

    Lorsque x tend vers 0, 2x tend vers 0, et PAR THEOREME (regarde ton cours), e2x−12x\frac{e^{2x}-1}{2x}2xe2x1 tens vers 1

    (Dans mon explication précédente, j'ai posé 2x=X)

    Pour la limite, vu que 2 est une constante et que e2x−12x\frac{e^{2x}-1}{2x}2xe2x1 tend vers 1 le produit tend vers 2 × 1=22 \ \times\ 1=22 × 1=2

    3)Pour le calcul de f'(x), c'est tout simple.

    u(x)=e2x−1 donc u′(x)=2e2x v(x)=x donc v′(x)=1u(x)=e^{2x}-1 \ donc\ u'(x)=2e^{2x} \ v(x)=x\ donc\ v'(x)=1u(x)=e2x1 donc u(x)=2e2x v(x)=x donc v(x)=1

    $f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2$

    Tu comptes et tu factorises au mieux.

    Pour la 4), il faut que tu trouves avec rigueur le signe de f'(x) .

    Pour x > 0, x² > 0 donc f'(x) est du signe de son numérateur (2x−1)e2x+1(2x-1)e^{2x}+1(2x1)e2x+1

    Tu peux poserg(x)=(2x−1)e2x+1g(x) = (2x-1)e^{2x}+1g(x)=(2x1)e2x+1

    Tu calcules g'(x).
    Tu étudies les variations de g pour x > 0
    Tu pourras en déduire le signe de g(x) d'où celui de f'(x)


  • A

    D'accord merci beaucoup


  • mtschoon

    De rien .

    Bon travail.


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