Inégalité avec valeurs absolues


  • K

    Bonsoir a tous
    j'ai besoin de votre aide
    Exercice
    Soit a∈R{0} et x∈R tel que |x−a|<|a|. Montrer que :

    1. x≠0.
    2. x est du signe de a.

    pour
    1 si x=0 alors |-a|<|a| on a donc une strict infériorité impossible d'où différents de 0.
    une indication pour 2 svp
    et merci


  • mtschoon

    Bonsoir king07,

    Une piste possible pour la 2.

    ∣x−a∣<∣a∣↔(x−a)2<a2↔(x−a)2<a2↔(x−a)2−a2<0|x-a| \lt |a| \leftrightarrow \sqrt{(x-a)^2} \lt \sqrt{a^2} \leftrightarrow (x-a)^2 \lt a^2 \leftrightarrow (x-a)^2-a^2 \lt 0xa<a(xa)2<a2(xa)2<a2(xa)2a2<0

    Après simplification-fartorisation

    ∣x−a∣<∣a∣↔x(x−2a)<0|x-a| \lt |a| \leftrightarrow x(x-2a) \lt 0xa<ax(x2a)<0

    Tu fais deux tableaux de signe : un pour a > 0 et l'autre pour a < 0

    Je te fais celui correspondant à a > 0 (donc 2a > 0)

    $\begin{tabular} {c|cccc} x&-\infty&&&0&&&&2a&&&&&+\infty&\ \hline x&&-&&0&&+&&&&&+\ (x-2a)&&-&&&&-&&0&&&+\ \hline x(x-2a)&&+&&0&&-&&0&&&+ \end{tabular}$

    Conclusion de ce cas : 0 < x < 2a donc nécessairement x > 0

    Tu fais le cas a < 0 (donc 2a < 0) et tu trouveras 2a < x < 0 donc nécessairement x < 0

    D'où la conclusion souhaitée.


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