Les ensembles: Surjection

Bonsoir,

J'ai une petite question, j'ai un petit exercice que je ne comprends pas:
Pour tout ensemble de M, il n'y a pas de surjection de M dans l'ensemble de ses parties.

Voilà comment je procède ci-dessous

Par contre, je ne sais pas si l'ensemble M est l'ensemble d'arrivé ou de départ ? J'ai l'impression qu'il y a une erreur ?

Merci pour votre réponse

Bonjour,

Je ne vois pas d'erreur.

M est l'ensemble de départ.

f est une application de M vers N

N est l'ensemble des parties de M : N=P(M)

Pour prouver que f n'est pas surjective, il faut trouver un élément A de N (c'est à dire une partie de M) qui n'a pas d'antécédent par f.

En bref, il faut prouver qu'il n'existe aucun élément de M qui a pour image A.

Il y a une méthode classique pour cette démonstration (méthode de CANTOR) qui consiste à choisir une partie A "judicieuse"

$\text{a={x\in m | x\notin f(x)}$

Faire ensuite un raisonnement par l'absurde.

*Tu peux trouver des explications sur le web, par exemple ici (exercice 15 question 2 et correction) :

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00084.pdf

Bien sûr, suis les indications de ton énoncé, s'il y en a...*

Bonsoir mtschoon

Merci pour ton aide, je vais également consulter ton lien pdf.

Bien à toi

c'est donc ça le raisonnement qu'il faut suivre ?

Soit f est une application de M dans P M
Pour démontrer que f n'est pas surjective

Pour prouver que A n'a pas d'antécédent par f, supposons par l'absurde que A a un antécédant a

ce qui est absurde

Non ; la partie A utilisée dans le raisonnement n'est pas la bonne

$\fbox{a={x\in m\ |\ x\notin f(x)}}$

On raisonne pas l'absurde pour prouver que cette partie A n' a pas d'antécédent par f

Deux possibilités à analyser

1ère possibilité

Si $\in a$ , par définition de A, $\notin f(a)$ c'est à dire $\notin a$

Contradiction.

2ème possibilité

Si $\notin a$ , par définition de A, $\in f(a)$ c'est à dire $\in a$

Contradiction.

**Conclusion : A ne peut pas avoir d'antécédent par f

f n'est pas surjective.**

Bonsoir Mtschoon,

Merci beaucoup pour tes explications...

De rien !