Résolution d'une inéquation avec exponentielle



  • Bonjour,

    Ma fille est en terminale ES et n'arrive pas à résoudre une inéquation ... je me suis penché sur le problème, mais moi même je bloque. Voici l'inéquation à résoudre :

    exp(2x)+11−exp(2x)≥0\frac{exp(2x)+1}{1-exp(2x)}\geq 01exp(2x)exp(2x)+10

    De premier abord x≠0. ce qui n'est pas un problème pour le démontrer.

    Cette inéquation reviendrait à dire que exp(2x)+1≥0exp(2x)+1\geq 0exp(2x)+10 (en multipliant le dénominateur des 2 cotés)

    ⇔exp(2x)+exp0≥0⇔exp(2x)≥−exp0\Leftrightarrow exp(2x) + exp0\geq 0 \Leftrightarrow exp(2x) \geq -exp0exp(2x)+exp00exp(2x)exp0

    et là je ne vois plus comment continuer car il faudrait que se soit sous la forme exp(a)=e(b)⇔a=bexp(a)=e(b) \Leftrightarrow a=bexp(a)=e(b)a=b et dans mon cas il y a un signe négatif devant expexpexp

    Suis-je dans le vrai ? Est-ce bien ainsi que l'on procède ?

    D'avance merci pour votre aide



  • Bonsoir,

    Pistes,

    Oui, on résout sur D=R*

    Non pour la suite ( on ne multiplie pas dans une inéquation, sans savoir le signe de la quantité par laquelle on multiplie )

    Le signe d'un quotient (c'est de cela dont il s'agit) dépend su signe du numérateur et du dénominateur.

    Ici, on peut justifier facilement pour pour tout x , e2xe^{2x}e2x+1 > 0

    Le quotient sera positif si et seulement si 1−e2x1-e^{2x}1e2x > 0

    Il reste donc à résoudre, sur R*, l'inéquation 1−e2x>01-e^{2x} \gt 01e2x>0



  • donc

    1−e2x1-e^{2x}1e2x>0
    ⇔\Leftrightarrow e2xe^{2x}e2x<e0e^0e0
    ⇔\Leftrightarrow 2x<0
    ⇔\Leftrightarrow x<0

    donc le dénominateur sera positif (et donc la fraction entière) pour tout x<0 (vu que le numérateur est de toute façon positif)

    donc S=]-∞\infty;0[



  • C'est bon.



  • OK, merci pour votre aide précieuse



  • De rien !


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