Associativité de la loi o



  • Bonsoir,

    J'aurais besoin d'une petite explication:

    Si 3 ensembles, A,B,C sont en réalité un seul et même ensemble, est-ce que
    fo(gof) = (fog) of ?

    Je me souviens que le prof a parlé de ça, il y a 2 semaines en mettant un exemple,
    (voir photo,) mais je ne m'y retrouve pas trop dans mes notes. Nous n'avons pas de syllabus et le prof fonce à chaque cours, et j'aimerais bien comprendre cette exercice pour ne pas prendre du retard.

    Merci pour votre aide.

    http://img11.hostingpics.net/thumbs/mini_391859php.jpg (cliquez pour agrandir)


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Il s'agit de la propriété d'associativité de la loi o, c'est à dire prouver que (hog)of=ho(gof)

    Je trouve l'explication donnée rapide mais claire.

    Je tenterai de te l'expliciter davantage si besoin.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Soit A, B, C, D les ensembles

    xa, yb y=f(x)\forall x \in a, \ \exists y \in b \ y=f(x)
    yb, zc z=g(y)\forall y \in b, \ \exists z \in c \ z=g(y)
    zc, yd t=h(z)\forall z \in c, \ \exists y \in d \ t=h(z)

    $\text{(hog)of (x)=(hog)[f(x)]=hog (y) =h[g(y)]=h(z)=t$

    $\text{ho(gof) (x)=ho[g(f(x))]=ho[g (y)]=h[g(y)]=h(z)=t$

    Donc, xa\forall x \in a

    $\text{(hog)of (x)=ho(gof) (x)$

    Conclusion : $\text{(hog)of =ho(gof)$

    La loi o est associative.



  • Bonjour,

    Merci pour toutes explications je vais ajouter tout ça à mes notes.
    si maintenant je prends mon autre exercice, Si les 3 ensembles A,B,C sont en réalité un seul et même ensemble, est-ce que fo(gof)=(fog)of
    Sa nous donnera ceci alors ?

    http://zupimages.net/up/16/04/hzus.jpg


  • Modérateurs

    La propriété d'associativité de la loi o est générale que les ensembles A, B,C soient distincts ou non (il n'y a pas d'exception).

    Dans le cas particulier indiqué, Si A, B,C sont le même ensemble, ne parle pas de B et C dans les deux premières lignes .
    De plus, si tu utilises seulement x et y, ne parle pas de z.

    Remarque 😘 j'ignore ce qui est demandé dan ton exercice, mais en principe, comme tout théorème, on utilise la propriété d'associativité de la loi 0 sans démonstration.*



  • Je comprends vraiment pas ce que le prof demande...
    Si les trois ensembles A,B,C sont en réalité un seul et même ensemble; est-ce que fo(gof)=(fog)of

    toujours, parfois, jamais...

    Quand le prof parle de 3 ensembles A,BC et puis qu'il dit que c'est en réalité un seul et même ensemble. Donc c'est A par exemple ?


  • Modérateurs

    Citation
    Si les trois ensembles A,B,C sont en réalité un seul et même ensemble; est-ce que fo(gof)=(fog)of

    La réponse est OUI (toujours)

    Effectivement tu peux dire que ces 3 ensembles sont A



  • Ah, merci Mtschoon.... 😄


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Si ça t'arrange, je te mets une rédaction qui me semble correcte pour justifier directement le cas particulier dont tu parles

    Vu que f et g sot deux applications de A dans A :

    $\text{\forall x\in a \exists y\in a y=f(x)$
    $\text{\forall y\in a \exists z\in a z=g(y)$
    $\text{\forall z\in a \exists t\in a t=f(z)$

    1ere partie

    $\text{(fog)of (x)=(fog)[f(x)]=fog(y)=f[g(y)]=f(z)=t$

    2eme partie

    $\text{fo(gof) (x)=f[gof (x)]=f[g(f(x)]=f[g(y)]=f(z)=t$

    Conclusion:

    $\text{\forall x\in a \exists t\in a (fog)of (x)=fo(gof) (x)=t$

    D'où la conclusion souhaitée



  • Bonsoir,

    Oui ça m'arrange beaucoup, merci infiniment je vais noter tout ça dans mes notes et comprendre tout ça. 😄


  • Modérateurs

    Bon travail !


 

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