Associativité de la loi o

Bonsoir,

J'aurais besoin d'une petite explication:

Si 3 ensembles, A,B,C sont en réalité un seul et même ensemble, est-ce que
fo(gof) = (fog) of ?

Je me souviens que le prof a parlé de ça, il y a 2 semaines en mettant un exemple,
(voir photo,) mais je ne m'y retrouve pas trop dans mes notes. Nous n'avons pas de syllabus et le prof fonce à chaque cours, et j'aimerais bien comprendre cette exercice pour ne pas prendre du retard.

Merci pour votre aide.

(cliquez pour agrandir)

Bonsoir,

Il s'agit de la propriété d'associativité de la loi o, c'est à dire prouver que (hog)of=ho(gof)

Je trouve l'explication donnée rapide mais claire.

Je tenterai de te l'expliciter davantage si besoin.

Bonjour,

Soit A, B, C, D les ensembles

$y=f(x)\forall x \in a, \ \exists y \in b \ y=f(x)$
$z=g(y)\forall y \in b, \ \exists z \in c \ z=g(y)$
$t=h(z)\forall z \in c, \ \exists y \in d \ t=h(z)$

$\text{(hog)of (x)=(hog)[f(x)]=hog (y) =h[g(y)]=h(z)=t$

$\text{ho(gof) (x)=ho[g(f(x))]=ho[g (y)]=h[g(y)]=h(z)=t$

Donc, $∀x∈a\forall x \in a$

$\text{(hog)of (x)=ho(gof) (x)$

Conclusion : $\text{(hog)of =ho(gof)$

La loi o est associative.

Bonjour,

Merci pour toutes explications je vais ajouter tout ça à mes notes.
si maintenant je prends mon autre exercice, Si les 3 ensembles A,B,C sont en réalité un seul et même ensemble, est-ce que fo(gof)=(fog)of
Sa nous donnera ceci alors ?

La propriété d'associativité de la loi o est générale que les ensembles A, B,C soient distincts ou non (il n'y a pas d'exception).

Dans le cas particulier indiqué, Si A, B,C sont le même ensemble, ne parle pas de B et C dans les deux premières lignes .
De plus, si tu utilises seulement x et y, ne parle pas de z.

Remarque j'ignore ce qui est demandé dan ton exercice, mais en principe, comme tout théorème, on utilise la propriété d'associativité de la loi 0 sans démonstration.*

Je comprends vraiment pas ce que le prof demande...
Si les trois ensembles A,B,C sont en réalité un seul et même ensemble; est-ce que fo(gof)=(fog)of

toujours, parfois, jamais...

Quand le prof parle de 3 ensembles A,BC et puis qu'il dit que c'est en réalité un seul et même ensemble. Donc c'est A par exemple ?

Citation
Si les trois ensembles A,B,C sont en réalité un seul et même ensemble; est-ce que fo(gof)=(fog)of

La réponse est OUI (toujours)

Effectivement tu peux dire que ces 3 ensembles sont A

Ah, merci Mtschoon....

Bonjour,

Si ça t'arrange, je te mets une rédaction qui me semble correcte pour justifier directement le cas particulier dont tu parles

Vu que f et g sot deux applications de A dans A :

$\text{\forall x\in a \exists y\in a y=f(x)$
$\text{\forall y\in a \exists z\in a z=g(y)$
$\text{\forall z\in a \exists t\in a t=f(z)$

1ere partie

$\text{(fog)of (x)=(fog)[f(x)]=fog(y)=f[g(y)]=f(z)=t$

2eme partie

$\text{fo(gof) (x)=f[gof (x)]=f[g(f(x)]=f[g(y)]=f(z)=t$

Conclusion:

$\text{\forall x\in a \exists t\in a (fog)of (x)=fo(gof) (x)=t$

D'où la conclusion souhaitée

Bonsoir,

Oui ça m'arrange beaucoup, merci infiniment je vais noter tout ça dans mes notes et comprendre tout ça.

Bon travail !